《工程力学》第4次作业解答（杆件的内力计算与内力图）2008-2009学年第二学期一、填空题1．作用于直杆上的外力（合力）作用线与杆件的轴线重合时，杆只产生沿轴线方向的伸长或缩短变形，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
2．轴力的大小等于截面截面一侧所有轴向外力的代数和；轴力得正值时，轴力的方向与截面外法线方向相同，杆件受拉伸。
3．杆件受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶作用时，杆件任意两相邻横截面产生绕杆轴相对转动，这种变形称为扭转。
4．若传动轴所传递的功率为P 千瓦，转速为n 转/分，则外力偶矩的计算公式为9549P M n=⨯。
5．截面上的扭矩等于该截面一侧（左或右）轴上所有外力偶矩的代数和；扭矩的正负，按右手螺旋法则确定。
6．剪力S F 、弯矩M 与载荷集度q 三者之间的微分关系是()()S dM x F x dx =、()()S dF x q x dx=±。
7．梁上没有均布荷载作用的部分，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
8．梁上有均布荷载作用的部分，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
9．在集中力作用处，剪力图上有突变，弯矩图上在此处出现转折。
10．梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图上有突变。
二、问答题1．什么是弹性变形？什么是塑性变形？解答：在外力作用下，构件发生变形，当卸除外力后，构件能够恢复原来的大小和形状，则这种变形称为弹性变形。
如果外力卸除后不能恢复原来的形状和大小，则这种变形称为塑性变形。
2．如图所示，有一直杆，其两端在力F 作用下处于平衡，如果对该杆应用静力学中“力的可传性原理”，可得另外两种受力情况，如图（b ）、（c ）所示。
试问：（1）对于图示的三种受力情况，直杆的变形是否相同？（2）力的可传性原理是否适用于变形体？解答：（1）图示的三种情况，杆件的变形不相同。
图（a ）的杆件整体伸长变形，图（b ）的杆件只有局部伸长变形，图（c ）的杆件是缩短变形。
（2）力的可传性原理，对于变形体不适用。
因为刚体只考虑力的外效应，力在刚体上沿其作用线移动，刚体的运动状态不发生改变，所以作用效应不变；力在变形体沿其作用线移动后，内部变形效果发生了改变，与力在原来的作用位置对变形体产生的效果不同。
3．如上图所示，试判断图中杆件哪些属于轴向拉伸或轴向压缩。
解答：（a ）图属于轴向拉伸变形；（b ）图属于轴向压缩变形。
（c ）、（d ）两图不属于轴向拉伸或压缩变形。
4．材料力学中杆件内力符号的规定与静力平衡计算中力的符号有何不同？【解答】问答题2图 问答题3图材料力学中内力的符号规定，是按照变形的性质决定的。
例如：轴向拉伸时，轴力取正号；轴向压缩时，轴力取负号；剪切变形时，“左上右下剪力为正”意思也可以理解成：剪切面左边部分向上运动，或者剪切面右边部分向下运动，则剪切面上的剪力取正号；弯曲变形时，梁的轴线由直线变成“上凹下凸”形状的曲线时，弯矩取正号等等。
计算一个截面的内力（轴力、剪力、扭矩、弯矩）时，只取这个截面一侧（既可以单独取截面左侧，也可以单独取截面右侧）的全部外力来计算，而舍弃截面另一侧的全部外力。
单独取截面左侧的外力计算内力与单独取截面右侧的外力计算内力，符号规定的标准是相反的，但最后得出的计算结果是一致的，即无论取截面的哪一侧外力来计算，同一截面的内力，必定大小相等，符号相同（就是对杆件产生的变形性质相同）。
静力平衡计算中力的符号，是对力在坐标轴上的投影和力对点之矩进行符号规定，主要根据力的方向，坐标轴正向和矩心位置等因素决定。
如果规定了一个方向的力在坐标轴上的投影规定为正，则与之相反方向的力在同一坐标轴上的投影则要为负；力对点取力矩时，如果规定了一个转向为正，则与之相反转向的力矩为负。
列平衡方程时，作用在同一物体上的所有外力都参加计算，全部外力按照同一标准规定符号。
【说明】：此题为一个作业之外的补充问答题，将答案写在这里，是希望有助于同学们理解工程力学中经常用到的各种符号规则。
三、作图题1．作如图所示各杆的轴力图。
（a ）解答：由上图可知，用截面法求得截面1－1、2－2、3－3的轴力分别为：取截面1-1右侧的全部外力计算，结果为正，表示1-1截面受拉力。
N 2220N F -=-（指向2-2截面）（背离2-2截面）+30＝10（表示受拉）计算结果为正，表示1-1截面受拉力。
N3320N F -=-（指向＝2-2面）-20截（表示受压）根据计算结果，画出杆的轴力图如上图所示。
（b ）解答：由上图可知，用截面法求得截面1－1、2－2、3－3的轴力分别为：N11F F -=+（取截面1-1左侧的全部外力计算，结果为正，表示受拉）N 220F F F -=-=（取截面2-2左侧的全部外力计算，结果为0，表示此段不变形）N33F F F F F -=-+=+（取截面1-1左侧的全部外力计算，结果为正，表示受拉）根据计算结果，画出杆的轴力图如上图所示。
（c ）解答：由上图可知，用截面法求得截面1－1、2－2、3－3的轴力分别为：N110F -=（截面1-1左侧没有任何外力作用）N 2224F F -=+-（背离2截面）（取截面2-2左侧的全部外力计算，结果为正，受拉）N3343F F F F -=-=（取截面3-3左侧的全部外力计算，结果为正，表示受拉）根据计算结果，画出杆的轴力图如上图所示。
2．作如图所示各圆轴的扭矩图。
根据扭矩的计算简便规则和符号规定，分别计算出轴各段截面上的扭矩值，画出轴的扭矩图如上图所示。
3．求下列各梁中截面1-1、2-2、3-3上的内力。
这些截面无限接近于截面C 或截面D ，且F 、q 、a 均为已知。
【解答】（a ）（1）画出从1-1、2-2、3-3截面截开示意图（本题是悬臂梁，取截面右侧外力计算，可以避免求解梁的左端约束力），分别如图（1）、（2）、（3）所示。
（2）根据剪力和弯矩计算法则，可得1-1、2-2、3-3截面的剪力和弯矩分别为：S11F F F -=-（右上+）（右下）＝0，11M F a Fa -=⋅（右逆＝）S22F F F -=-（右上＝－），22M F a Fa -=⋅（右逆＝）S220F -=，330M -=（3-3截面右侧没有任何外力作用）（b ）（1）对于简支梁，无论取截面的左侧还是右侧外力求内力，都需要求解杆端约束力，画出A 、B 两端的约束力，根据梁的平衡方程，可求得两端约束力为：（2）画出从1-1、2-2截面截开示意图，分别如图（1）、（2）所示。
（2）根据剪力和弯矩计算法则，可得1-1、2-2截面的剪力和弯矩分别为：4．已知如图所示各梁的q 、F 、M e 和尺寸a ，试求：（1）列出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）指出max S F 和max M 及所在截面位置。
（a ）解答：（1）求两端支座A 、B 的约束力，并写出剪力方程和弯矩方程。
122A B qa a F F qa a ⋅===（两力大小相等、方向相反，组成力偶） 剪力方程为：弯矩方程为：（2）按剪力方程作剪力图，按弯矩方程作弯矩图，如图所示。
【说明】：在本题手工绘制的剪力图和弯矩图后面，同时给出了计算机辅助分析（工程）软件ANSYS 建模分析自动绘出的剪力图和弯矩图，验证了手工绘图的正确性。
（3）确定最大剪力和最大弯矩。
由剪力图和弯矩图可知：max 12SF qa =，2max 18M qa = （b ）解答：（1）对于本题的悬臂梁，取任一截面之右部分研究，不必求左端支座A 的约束力，直接写出剪力方程和弯矩方程如下：剪力方程为： ()()S F x q a x =-- （0＜x ＜a ）弯矩方程为：21()()2M x a x =- （0≤x ≤a ） （2）按剪力方程作剪力图，按弯矩方程作弯矩图，如图所示。
【说明】：在本题手工绘制的剪力图和弯矩图后面，同时给出了计算机辅助分析（工程）软件ANSYS 建模分析自动绘出的剪力图和弯矩图，验证了手工绘图的正确性。
（3）确定最大剪力和最大弯矩。
由剪力图和弯矩图可知：max S F qa =，2max 12M qa = 5．试利用q 、S F 和M 之间的微分关系作下列梁的剪力图、弯矩图。
并指出max S F 和max M 及所在截面位置。
【说明】：本题解答过程的说明文字没有给出，请同学们自己写出过程说明，主要把握以下几点：（1）对于简支梁（a ）或外伸梁（b ）、（c ），必须求得各支座的约束力；（2）要将梁分成若干段：集中力作用处、集中力偶作用处、支座处、均布线载荷的起点、终点，剪力图上剪力等于0的点，都是分界点。
（3）在一段梁内，如果没有均布载荷作用，则该段内剪力为常数，剪力图为水平直线（平行于梁轴线）；弯矩图为斜直线。
（4）在一段梁内，如果有均布载荷作用，则该段内剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线，在剪力为零的截面上，弯矩达到极值。
（5）在集中力（包括梁上已知的主动力和支座约束力）作用处（梁的一个截面）,剪力图发生突变（该截面左右两侧附近剪力值不同）；弯矩图发生转折（该截面左右两侧弯矩图的斜率不同）。
（6）在集中力偶（包括固定端约束）作用处，剪力图不受影响，弯矩图发生突变（该截面左右两侧附近弯矩值不同）。
（7）如果是水平直线，只需确定一点即可作图；如果是斜直线，需要确定两个点的坐标，才能作图（一般取起点和终点作控制点）；如果是抛物线，需要确定三个点作图（一般取起点、极值点、中点、结束点为控制点），计算出各控制点的剪力值和弯矩值，描点、连线即可作出剪力图和弯矩图。
（8）根据作出的剪力图，可以直接观察出剪力和弯矩的最大值。