P
二、载荷的分类
1. 集中载荷
q(x)
2. 分布载荷
3. 集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况， 一般可以简化为三种基本形式：
1. 固定铰支座
2. 可动铰支座
3. 固定端支座
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型
简支梁
P
P
外伸梁
悬臂梁
2 梁的计算简图
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
2 梁的计算简图
火车轮轴简化
2 梁的计算简图
3 剪力和弯矩
a
b
P
１
A
B
１
x
l
a
1
A
1
x
b
P
1)求支反力
RA l P b
Pb
B
RA l
Pa
RB l
RA M
l
M
P RB
2）1-1面上的内力
Pb Q RA l
Q
x
Q
RA
外力偶矩 扭矩和扭矩图
5.4 弯曲内力
• 1 概述 • 2 梁的计算简图 • 3 剪力和弯矩 • 4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 • 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
0
1 概述
起重机大梁
1
镗刀杆
火车轮轴
弯曲变形
受力特征： 外力的作用线垂直于杆轴线(称为横向力) （有时还包括力偶）。
分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A
P1=2kN A
P2=3kN C
P3=1kN B
1
FN1
2
FN1
´=2kN
P2 =3kN
1
1C
P3 =1kN B
P1 =2kN A
A
P2 =3kN FN2
C
1
2
2kN
C
B
FN2´
2 轴力图
P3 =1kN B
1kN
例2：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴 力
X 0: Y 0:
S1 S2
注意：1、用截面法求内力，依情况不同可用不同的截面法 2、内力的大小仅与所受外力的大小和分布有关 3、内力的大小与截面尺寸、形状以及构件的材料无关
思考题
5.3扭转内力
工程中的扭转问题
汽车传动轴
一、概 述
工程中的扭转问题
汽车方向盘
工程中的扭转问题
丝锥攻丝
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。
P FN ' 0 FN ' P
轴力的符号规定： 拉力——离开截面为正，压力——指向截面为负 拉为正，压为负
注意：内力符号规定与静力学不同， 截面上的未知内力皆用正向画出
轴力图： 为直观表示出杆的轴力情况，用一图线来表示轴力沿杆轴变 化，这种图线称为轴力图
例 题：
• 例1 设一杆轴线同时受力P1,P2,P3的作用，其作用点
60
P─kW
m
9549
P n
n─r/min m─N m
P─PS(马力)
m
7024
P n
n─r/min m─N m
2.扭矩和扭矩图
Tm
T m
扭矩
扭矩T的符号规定： n
T m
n
T m
扭矩图
外力偶矩 扭矩和扭矩图
解: (1)计算外力偶矩
外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
（5）剪力图和弯矩图具有自封闭性
5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系
q(x)
q(x) M(x)
M(x) dM(x)
x
dx
Q(x) Q(x) dQ(x)
Q(x) dQ(x) Q(x) q(x)dx d Q(x) q(x) dx
M(x) dM(x) M(x) Q(x)dx 1 q(x)dx2 0 2
FP1
y
Fy
FR
FS
My M
Mx FN x
z Fz FP2
外力与内力
外力: 材料力学中的外力是指构件的所有力——包括载 荷 和约束力
内力：材料力学中的内力是指构件由于受到外力作用， 因抵抗变形所产生的附加内力。
注意： 1.与物系中的内力相区分 2.与物理学中的微观粒子的作用力相区分
截面法：截、取、代、平———求内力的基本方法
(1) 在梁上没有分布载荷的地方，剪力图 为一水平线；弯矩图为一直线。
(2) 在有均布载荷的一段梁内，剪力图为 倾斜直线；弯矩图则为一抛物线。
(3) 在集中力作用处，剪力图有突变，突 变之值即为该处集中力之大小，弯矩图在此则为 一折角。
(4) 在集中力偶作用处，剪力图没有变化； 弯矩图则有突变，突变之值即为该处集中力偶之 力偶矩。
q(x)
d M (x) Q(x) M(x) dx
M(x) dM(x)
Q(x) Q(x) dQ(x)
载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:
d Q(x) q(x) dx
d M (x) Q(x) dx
d2 M(x) d x2
d Q(x) dx
q(x)
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
剪力Q: 平行于横截面的内力的合力,在数值上它等 于截面一侧所有外力在梁轴垂线上投影的代数和。 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶矩，在数值 它等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。
3
4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各横截面 上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 。 即
解：由 M B
0得
RA
5qa 4
由 M A 0得 5qa
Q1 RA 4
RB
7qa 4
M2
M1
RA
a
5qa 2 4
Q3
Q2
RA
qa
qa 4
M3
RA
2a
qa
a
3qa 2 2
Q4
qa RB
3qa 4
,
5qa 2 M4 4
3 剪力和弯矩
求图示简支梁E 截面的内力
FAy
FBy
解： 1. 确定支反力
M RA x
Pbx
RB
l
3 剪力和弯矩
截面的左段对右段向上相 对错动时或剪力对梁上任意
+
_
一点的矩为顺时针转向时，
剪力为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
截面上的弯矩使
得梁呈凹形（即该段 的下半部受拉 ）为正； 反之为负。
+
_
左顺右逆为正；反之为负
例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和 弯矩。 （ 1-1、2-2截面无限接近于P所作用 的截面）。
弯矩图为直线(Q=0,水平直线;Q>0,上倾直线;Q<0,下倾直线)。
2.q＝常数，Q(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线（q>0,
上倾直线; q<0,下倾直线)。
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（q < 0），抛物线呈凸形。
ME
5F 3a 32
2F a 2
3 Fa 2
Q M 顺逆
Q M 逆顺
弯曲内力的计算：
横截面上的剪力在数值上等于此截面左 侧或右侧梁上外力的代数和，符号按材 力规定确定。
横截面上的弯矩在数值上等于此截面左 侧或右侧梁上外力对该截面形心的力矩 的代数和，符号按材力规定确定。
3 剪力和弯矩
第五章 杆件的内力
5.1内力的概念·截面法
什么是内力？
内力－变形引起的物体内部附加力
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
假想截面
F2
分布内力
Fn
内力的特征:
(1)空间连续分布力系
(2)与外力组成平衡力系
F1
F2
F3
Fn
内力主矢与内力主矩
F1
F2
F3
Fn
F1
F3
FR M
内力分量： 轴力FN，剪力FS(Fy Fz )，扭矩Mx ，弯矩My Mz
(0 x l)
M (x) q l x qx x
ql
2
2
2
q 2
x
2l
2
ql2 8
(0 x l)
x
x
P
A
C
RA
a
b
l
B
Pb
Pa
RA
, l
RB
l
RB
AC段：
Q(x)
RA
Pb l
Pb M(x) RA x l x
(0 x a) (0 x a)
CB段：
Q(x)
RB
Pa l
(a x l)
变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
1 概述
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
1 概述
平面弯曲
•具有纵向对称面:梁的轴线与横截面的对称轴所 构成的平面
•外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
1 概述
常见弯曲构件截面
目录
2 梁的计算简图
一、杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁 折杆或曲杆用中心线代替
截——用假想截面在要求内力的截面处将杆截为两段。 取——将截开的杆件，保留任一段作为研究对象。 代——并用内力代替另一段对它的作用。 平——考虑保留段的平衡条件，由平衡方程确定内力的大小 和方向。