第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。

内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。

显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。

在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。

这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。

需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。

受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。

轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。

剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。

扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。

弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。

二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。

杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。

1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。

其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。

其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。

轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。

图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。

内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。

它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。

2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。

在联接部位，一般要有起联接作用的部件，这种部件称为联接件。

例如图2-3a 所示两块钢板用铆钉(也可用螺栓或销钉)联接成一根拉杆，其中的铆钉(螺栓或销钉)就是联接件。

图2-3铆钉、螺栓等联接件的主要受力和变形特点如图2-3b 所示。

作用在联接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，均为F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的截面m-m(称为剪切面)发生相对错动。

这种变形称为剪切变形。

3、扭转变形杆件若受到作用面垂直于轴线的力偶的作用时，将会产生扭转变形。

工程中常把产生的变形以扭转变形为主的杆件称为轴。

大多数受扭的杆件其横截面为圆形，称为圆轴。

圆轴扭转时的变形特点是：各相邻截面产生绕杆件轴线的相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。

机械工程中的传动轴通常是圆形截面，建筑工程中常遇到的则是矩形截面。

房屋中的雨篷梁（图2-4）和边梁（图2-5）均为受扭的杆件。

图2-4 图2-54、弯曲变形弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。

如图2-6所示的楼板梁、公路桥梁、单位长度的混凝土重力坝和机车轮轴等的变形都是弯曲变形。

当杆件受到垂直于杆件轴线的荷载或作用面与杆件轴线共面的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变形为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。

以弯曲变形为主要变形的杆件称为受弯构件或梁式杆，水平或倾斜放置的梁式杆简称为梁。

这类杆件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。

其变形特点是：杆件的轴线被弯成一条曲线。

图2-6三、求解杆件内力的方法根据已知外力求解杆件横截面上内力的基本方法是截面法。

为求图2-7a所示两端受轴向拉力F的杆件任一横截面1-1上的内力，可假想地用与杆件轴线垂直的平面，在1-1截面处将杆件截开；取左段为研究对象，设右段截面对左段截面的作用力用合力F N来代替（图2-7b），并沿杆轴线方向建立平衡方程：=-FFN∴F FN=这种假想地将杆件截开成两部分，从而显示并解出内力的方法称为截面法。

用截面法计算内力的步骤为：（1）截假想地沿待求内力所在截面将杆件截开成两部分。

（2）取：取截开后的任一部分作为研究对象。

（3）代：画出保留部分的受力图，其中要把弃去部分对保留部分的作用以截面上的内力代替。

（4）平衡：列出研究对象的平衡方程，计算内力的大小和方向。

在用截面法求解杆件任一横截面上的内力分量时，若内力分量的方向不易判断，则一般采用设正法——按正向假设，若最后求得的内力分量为正号，则表示实际内力分量的方向与假设方向一致，若最后求得的内力分量为负号，则表示实际内力分量的方向与假设方向相反。

§2-2 轴向拉压杆和扭转杆的内力与内力图一、轴向拉压杆的内力与内力图——轴力与轴力图轴向拉压杆的横截面上只有一个内力分量——轴力NF。

用截面法可求出轴向拉压杆任一横截面上的轴力。

轴力的正负由杆件的变形确定。

为保证无论取左段还是右段作研究对象所求得的同一截面上轴力的正负相同，对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线一致时，轴力为正；反之为负。

由此知，当杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。

工程实际中，轴向拉压杆所受外力可能很复杂，这时轴向拉压杆各横截面上的轴力将随截面位置的变化而变化，N F 将是横截面位置坐标x 的函数。

即()x F F N N = 这种函数关系称为轴向拉压杆的轴力方程。

为了清楚地表达杆件各截面的轴力，采取作轴力图的方法：以平行于杆件轴线的x 坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的F N 坐标表示对应横截面上的轴力，把轴力方程表示的函数关系用图形表示出来，这样画出的函数图形称为轴力图。

例2-1 求图6-6a 中杆件1-1、2-2截面上的内力。

已知1F =6KN ，2F =10KN ，3F =4KN 。

解 （1）求1-1截面上的内力。

从1-1截面处截开，取左段为研究对象，受力如图2-6c所示。

∑x F = 0 1F + 1N F = 0 1N F ＝－1F ＝－6KN(压)（2）求2-2截面上的内力。

从2-2截面处截开，取右段为研究对象，受力如图2-6d 所示。

∑x F = 0 －2N F ＋ 3F = 0 2N F =3F =4KN（3）绘制该杆的轴力图，如图2-6b 所示。

例2-2 图2-7a 所示杆件，已知1F =70KN 、2F =20KN 、3F =10KN ，试绘出轴力图。

图2-7 图2-6解：（1）求1-1、2-2、3-3截面的轴力。

对图2-7c ∑x F = 0 －1N F －3F = 0 ， 1N F = －3F = -10KN （压）对图2-7d ∑Fx = 0， －2N F －2F －3F = 0 ， 2N F = －2F －3F = －30KN （压）对图2-7e ∑x F = 0 ， －3N F +1F －2F －3F = 0 ， 3N F =1F －2F －3F =40KN （拉） （2）绘出轴力图 如图4-7b 所示。

例2-3 图2-8a 所示截面面积为A ，高为2L 的等截面钢杆，顶端固定，B 截面受力F 1=5KN ，C 截面受力F 2=10KN 作用， 绘出钢杆的轴力图。

解： （1）计算距顶端为A 处横截面的轴力.从A 处截面截开,取AC 为段为研究对象,受力如图2-8b 所示。

该段所受外力有F1和F2。

由平衡条件 得∑F X =0 F N （A ）+F 1 – F 2 = 0 F N （A ）= 10–5 = 5KN同理，F N （B 〞）= 5KN ，沿B ＇截面截开，取B ＇C 为研究对象，如图2-8d 所示。

由平衡方程 得∑Fx = 0 F N （B ˊ）=10KN轴力图如图2-8e 所示。

二、扭转杆的内力与内力图——扭矩与扭矩图受扭杆的横截面上只有一个内力分量——扭矩M x 。

用截面法可求出受扭杆任一横截面上的扭矩。

图2-8如图2-9a 所示为某转动轴简图，为求任一截面上的扭矩，假想地沿图示截面截开，用M x 代替两段间相互作用的扭矩，取左段研究其平衡（图4-9b ），可得∑M = 0 x M – M e = 0 x M = M e若取右段研究其平衡（图4-9c ），也能求得截面上的扭矩，但与取左段时的扭矩转向相反。

为使得分别取左、右两段时求得的同一截面上的扭矩不仅数值而且符号也相同，用右手法则确定扭矩的正负符号。

即以右手四指表示扭矩的转向，拇指指向与截面外法线一致时为正扭矩，反之为负扭矩（如图4-9d 、图4-9e ）。

计算时，通常都假定扭矩为正，若求得的结果为负值，则表示扭矩的实际转向与假设相反。

对于受力复杂的受扭杆，各横截面上的扭矩x M 将是横截面位置坐标x 的函数。

即()x M M x x = 这种函数关系称为受扭杆的扭矩方程。

对于受多个外力偶作用的圆轴，为了分析各截面上扭矩的大小，常用图示的方法来表示：以横坐标表示各截面的位置，以纵坐标表示各截面扭矩的大小，并标上正负号，这种表达受扭杆各不同位置截面扭矩分布情况的图形，称为扭矩图。

实际工程中，受扭杆所受到的外力偶矩（或称转矩）M 通常不是直接给出的，已知的是轴的转速ｎ和转递功率P ，可以根据功率、转速、力偶矩之间的如下关系计算外力偶矩：图2-9M = 9549n P式中M 为外力偶矩，单位是牛·米（N ·m ）；Ｐ为转递功率，单位是千瓦（kW ）；ｎ为轴的转速，单位是转数／分（r/min ）。

例2-4 图2-10所示传动轴，轴的转速ｎ＝300 r/min ，输入功率P A ＝220 kW ，输出功率P B ＝110 Kw,P C ＝110 Kw,试作该轴的扭矩图。

解： （1）计算外力偶矩A M ＝9549n P=9549⨯300220N ·m ＝7KN ·m B M ＝9549n P=9549⨯300110N ·m ＝3.5KN ·m C M ＝9549n P =9549⨯300110N ·m ＝3.5KN ·mAB 段，取左端为研究对象如图2-10(c ）。

BC 段取右端为研究对象如图2-10（d ）1x M ＝A M ＝7KN 2x M ＝C M ＝3.5KN作转动轴AC 的扭矩图,图2-10(b)所示。

例2-5 轴的计算简图如图2-11a 所示。

试作出该轴的扭矩图。

（d ） （c ）图2-10解: 该轴仍分为三段即AB 、BD 、DE 进行计算。

为避免计算支座反力，各段在计算扭矩时，可均取右段为研究对象。

计算1-1截面的扭矩 如图2-11C 所示。

∑=0M 1x M -2=0 1x M =2KN ·m计算2-2截面的扭矩 如图2-11d 所示。