《立体几何初步》练习题
一、 选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ）
A 、垂直
B 、平行 Ｃ、相交不垂直 D 、不确定
２. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是( ）
A ． BD Ｂ. CD C. BC D. 1CC
3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( )
A.βα//n ,//m ,n m ⊥
B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂α Ｃ.αβ⊆⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,//
4、平面α与平面β平行的条件可以是( )
Ａ.α内有无穷多条直线与β平行； B ．直线a/／α，a ／/β C.直线ａα⊂,直线b β⊂,且a ／／β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是( ） A ．①和② B.②和③
C.③和④
D ．①和④
6.点P 为ΔABC 所在平面外一点,P Ｏ⊥平面A ＢC ，垂足为O,若PA=PB=ＰC,
则点Ｏ是ΔＡBC 的( ) A.内心 B ．外心 Ｃ.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,
则下列命题中为真命题的是（ ）
Ａ．若//,,l n αβαβ⊂⊂,则//l n B.若,l αβα⊥⊂,则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8． 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. Ａ.3 B.２ Ｃ.１ D ．0
9．（２013浙江卷)设ｍ.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面，ﻩ( )
A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ﻩ
B.若ｍ∥α，m ∥β,则α∥β C ．若m ∥n,ｍ⊥α，则n ⊥α
D.若m ∥α,α⊥β,则ｍ⊥β
10.(２013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是ﻩ( )
A ．若//l α，//l β,则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥,则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D.若αβ⊥，//l α,则l β⊥
二、填空题
11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1中,E,Ｆ分别是棱AB,BC 中点,则三棱锥Ｂ—B 1EF 的体积为 .
12．对于空间四边形ＡBCD,给出下列四个命题:①若ＡＢ=ＡC ，B Ｄ=CD 则BC ⊥AD;②若AB=CD ，AC=B Ｄ则BC ⊥A Ｄ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若ＡＢ⊥CD, BD ⊥AC 则BC ⊥ＡD ；其中真命题序号是 ．
13． 已知直线b ／／平面α,平面α//平面β,则直线b 与β的位置关系为 ．
P
14. 如图,△AB Ｃ是直角三角形,∠ACB=︒90,PA ⊥平面ABC,此图形中有 个直角三角形
三、解答题
１5.如图，P Ａ⊥平面AB Ｃ,平面P ＡB ⊥平面PBC 求证:AB ⊥ＢＣ
1６.如图,ABCD 和ABEF 都是正方形，M AC N FB ∈∈，，且
AM FN =。

求证://MN BCE 平面。

1７.如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面
ABC ,︒=∠90ABC ,PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F
求证:（1)⊥BC 平面PAB ;
（2)平面AEF ⊥平面PBC ; （3)⊥PC EF .
P
A
B
C
C
E
F F
E
P
C
B
A
１8、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

求证：(1）PA ∥平面ＢＤE ；（2）平面PA Ｃ⊥平面BDE.[来源:]
19、如图,长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ,点P
为1DD 的中点。

求证：
（1）直线1BD ∥平面PAC ;(2)平面PAC ⊥平面1BDD ; （3)直线1PB ⊥平面PAC .
2０.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ＡB Ｃ—Ａ1B １C 1中ＡC=
３,AB=５，14,4,.CB AA D AB ==点是的中点 (Ⅰ）求证:1BC AC ⊥(Ⅱ）求证:AC １//平面C ＤB 1； （Ⅲ）求三棱锥A 1—B 1ＣD 的体积. ﻩ
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
21.如图，在几何体ＡBCDE 中，AB
= AD = ２，A Ｂ丄AD ，A Ｅ丄平面ＡＢD ，M 为线段ＢD 的中点，
ＭＣ//ＡE,且AE = MC =2 (
Ｉ
）
求
证
:
平
面B C Ｄ丄平面ＣD E ；
（II ）若N 为线段DE 的中点, 求证:平面A ＭN//平面BEC ．
22．(2013年北京卷)如图，在四棱锥P ABCD -中
//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和Ｆ分别是C Ｄ和PC 的中点， 求证: (１) PA ⊥底面ABCD ; (2） //BE 平面PAD ;
（３)平面BEF ⊥平面PCD
2３.(2013年山东卷）如图,四棱锥P ABCD
-中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,
,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点
求证：(Ⅰ）CE PAD
∥平面；
(Ⅱ)求证:EFG EMN
平面平面
⊥
２4.（20１3年大纲卷）如图,四棱锥P ABCD
-中，90
ABC BAD
∠=∠=，2
=
BC AD PAB PAD
与都是边长为2的等边三角形.
∆∆
（I）证明:;
⊥
PB CD
(ＩI)求点.
到平面的距离
A PCD
参考答案
选择题：AAC ＤA,BCCCB 填空题：11、
1
3
12、①④ 13、//b b ββ⊂或 １4、４ 解答题：15、作,AD PB ⊥ １６、
//,//MG AB NH EF 作交CB 于G 交BE 于H,连接GH,证明四边形MGHN 是平行四边形
1７、(2）证AE PBC ⊥平面（3）证PC AEF ⊥平面 18、(1)连接OE ,//OE PA ,(2)证BD PAC ⊥平面 19、(1)设AC
BD O =,连接OP ,1//OP BD ,(2)证1AC BDD ⊥平面
(3) 由1AC BDD ⊥平面得1AC B P ⊥,计算可以得到1190,B PO B P PO ∠=⊥ ２０、（1)11AC BB C C ⊥平面（2） (1)设11B C
BC O =，连接OD ,1//OD AC
(3）
11118A B CD C A DB V V --==,
21、（1)计算得90,,90,,BCD BC CD BCE BC CE ∠=⊥∠=⊥BC CDE ⊥平面 (2） //,//AM EC MN BE
22、 (I)因为平面ＰAD ⊥平面AB ＣＤ,且ＰA 垂直于两平面的交线AD
所以ＰA 垂直底面ABCD.
(II)因为ＡＢ∥C Ｄ,CD=2A Ｂ,E 为CD 的中点 所以AB ∥DE,且A Ｂ=DE 所以AB ＥD 为平行四边形，
所以B Ｅ∥A Ｄ,又因为B Ｅ⊄平面PAD,ＡＤ⊂平面PA Ｄ 所以B Ｅ∥平面ＰAD ．
(III ）因为AB ⊥AD,而且ABED 为平行四边形 所以BE ⊥CD ，AD ⊥C Ｄ,由(I ）知ＰA ⊥底面ABCD, 所以P Ａ⊥ＣD,所以CD ⊥平面PAD
所以ＣD ⊥ＰD,因为E 和F 分别是C Ｄ和P Ｃ的中点
所以ＰD ∥EF,所以C Ｄ⊥EF ，所以CD ⊥平面BE Ｆ,所以平面BEF ⊥平面P ＣD. 23、(1）取PA 中点H ，连接EH 、DH,证明四边形CEHD 是平行四边形
或者连接C Ｆ，证明//ECF PAD 平面平面
（2）证,AB EFG ⊥平面////,MN CD AB 所以,MN EFG ⊥平面
24、
（Ⅰ)证明：取BC 的中点E,连结ＤE,则ＡBED 为正方形． 过Ｐ作PO ⊥平面ABCD,垂足为Ｏ. 连结O Ａ，ＯB ，O Ｄ,ＯE. 由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=P Ｂ＝ＰＤ， 所以O Ａ=ＯB ＝ＯD,即点O 为正方形ABE Ｄ对角线的交点, 故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥. 因为O 是BD 的中点,E 是ＢC 的中点, 所以ＯE ／/C Ｄ.因此,PB CD ⊥.
（Ⅱ)解：取ＰD 的中点F,连结ＯF ，则ＯF//ＰＢ. 由(Ⅰ)知,PB CD ⊥,故OF CD ⊥.
又1
2
OD BD =
=OP = 故POD ∆为等腰三角形,因此,OF PD ⊥. 又PD CD D =,所以OF ⊥平面ＰCD.
因为AE ／/ＣD,CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD,所以ＡＥ//平面PCD ． 因此,O 到平面ＰCD 的距离ＯＦ就是A 到平面ＰC Ｄ的距离,而1
12
OF PB ==, 所以A 至平面PCD 的距离为1.。