x2 x1
x3 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 ( x3 x1 )
xnn2 ( xn x1 )
xn x1 xn ( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 )
xn2 3
(
x3
x1 )
1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) x2
xnn2 ( xn x1 )
x
1y 0 x y ( x (n 1) y)
1y
x
பைடு நூலகம்
y
0 x n 1 y x y n-1
00
x y
§2.2 行列式的性质与计算
例10. 证明范德蒙行列式(n≥2)
111
1
x1
x2
x3
Vn x12
x22
x32
xn xn2 ( xi x j ),
1 jin
x x x n1
n1
n1
§2.2 行列式的性质与计算
an
0
0
n
1 ai
i 1
1
1 a1 a2
an
a1 1 a2
an
a1
a2
1 an [结束]
1
2
3
x n1 n
证
n = 2:
1 x1
1 x2
x2 x1 ,
结论成立
设对于n-1阶结论成立，对于n阶：
§2.2 行列式的性质与计算
1 0 Vn 0
1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
1 x3 x1 x3 ( x3 x1 )
1 xn x1 xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
1
1
x3
xn n-1阶范德
蒙行列式
x x n2
n2
2
3
xn2 n
Vn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
( xi x j )
( xi x j )
2 jin
1 jin
§2.2 行列式的性质与计算
例11
a a2 a3 a4
b b2 b3 b4
D
abcd
c c2 c3 c4
三. 行列式的计算
例7. 设 解.
，求 detA.
§2.2 行列式的性质与计算
例8. 计算 解.
§2.2 行列式的性质与计算
xy
y
yx
y
例9. 计算 Dn
yy
x
解（逐列相加）
x (n 1) y y
y
1y
y
x (n 1) y x Dn
y
1 ( x (n 1) y)
x
y
x (n 1) y y
d d2 d3 d4
1 a a2 a3 1 b b2 b3 1 c c2 c3 1 d d2 d3
abcd
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 a3 b3 c3 d 3
abcd d cd bd ac bc ab a
§2.2 行列式的性质与计算
1 a1 a2
an
例12. 计算 Dn a1 1 a2
an
a1
a2
解. 加边法
1 an
1 a1 a2
an
1 a1 a2
an
0 1 a1 a2
an 1 1 0
0
Dn 0 a1 1 a2
an 1 0 1
0
0 a1 a2
1 an 1 0 0
1
§2.2 行列式的性质与计算
n
1 ai a1 a2 i 1
0
0
10 01
0 00
其它方法 拆边法 逐行（列）相加法 先猜测，后归纳