第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ijnn n nna a a a a a a a a a =（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。
当12n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时，该项前面带负号，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑。
2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。
4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式111111222222112200nn nn nnnna a a a a a a a a a a a *===*2）副对角方向的行列式111(1)212,12,1212,111110(1)nnnn n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----*===-*3）范德蒙行列式：1222212111112111()(2)n n i j j i nn n n na a a a a a a a a a a n ≤<≤---=-≥∏二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。
即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。
4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。
5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。
6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。
三、行列式的按行（列）展开1、子式1）余子式：在n 级行列式ij D a =中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式，记作ij M 。
2）代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式。
3）k 级子式：在n 级行列式ij D a =中，任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤，位于这些行列交叉处的2k 个元素，按原来顺序构成一个k 级行列式M ，称为D 的一个k 级子式。
当()k n <时，在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式。
2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行（k 列）展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中，任意取定k 个行（k 列）(11)k n ≤≤-，由这k 行（k 列）元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。
4、其他性质1）设A 为n 阶方阵，则A A '=； 2）设A 为n 阶方阵，则nkA k A =；3）设,A B 为n 阶方阵，则AB A B =，但A B A B ±≠±；4）设A 为m 阶方阵，设B 为n 阶方阵，则00A A AB BB*==*，但A B A B ±≠±。
5）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式1111111111122111111,,1,2,,.nnnij i j i j in nj n n n n n n a a b b c c c a b a b a b i j n a a b b c c •==++=其中四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。
具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。
方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。
用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从1234n D D D D D →→→→，逐级递推便可以求出n D 的值。
方法二：数学归纳法。
第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。
第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式。
方法三：加边法。
加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或m+1）级行列式较易计算。
其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn n n n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===。
方法四：拆行（列）法。
将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。
拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。
方法五：析因子法。
如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ，然后对行列式()f x 实行某些变换，求出()f x 的互素的一次因式，使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ，根据多项式相等的定义，比较()f x 与的()g x 某一项系数，求出c 值，便可求得()D cg x =。
2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如，*等等）。
注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。
类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。
（1）“三对角”行列式（,）。
注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。
首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+，然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式： 先计算123,,D D D 等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。
间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可解得n D 。
（2）“爪型”行列式（）。
注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。
（3）Hessenerg 型行列式（）。
类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。
注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。
类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。
注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。
类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。
类型六：其他形式行列式。
五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零，即111110nn n a a D a a =≠， 则方程组有唯一解：1212,,,n n D D Dx x x D DD===其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式。
2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。