第一章 行列式（ * * * ）
一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。

在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。

具体可以参考真题。

二、考点精讲： (一）基本概念
定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221112
11
=
称为n 阶行列式，规定 n n
n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)
()1(∑-=
τ。

定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221112
11
=
中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j
i ij M A +-=)
1(为元素ij a 的代数余子式。

（二）、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如
n
a a a Λ
ΛO ΛΛΛΛ0
00
02
1
称为对角行列式，n n
a a a a a a ΛΛ
ΛO ΛΛΛΛ21210
00
0=。

2、上（下）三角行列式—称
nn n n a a a a a a Λ
ΛO ΛΛΛΛ
0222112
11
及nn
n n a a a a a
a ΛΛO ΛΛΛΛ21222111
0为上（下）三角行列式，
nn
nn
n n
a a a a a a a a a ΛΛ
ΛO ΛΛΛΛ
2211222112
11
0=，nn nn
n n a a a a a a a a a ΛΛ
ΛO
Λ
ΛΛΛ221121
22
21
11
0=。

3、
||||B A B
O O A ⋅=，
||||B A B
O C A ⋅=，
||||B A B
C
O A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如1121121211
11
),,,(---=
n n
n n n
n a a a a a a a a a V Λ
Λ
O
Λ
ΛΛΛΛ称为n 阶范得蒙行列式，且X Λ
ΛO
Λ
ΛΛΛΛn
i j j i n n
n n n
n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==
11121
12
121)(1
11
),,,(。

【注解】0),,,(21≠n a a a V Λ的充分必要条件是n a a a ,,,21Λ两两不等。

（三）行列式的计算性质
1.把行列式转化为特殊行列式的性质
（1）行列式与其转置行列式相等，即T D D =。

（2）对调两行（或列）行列式改变符号。

（3）行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。

推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。

推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

（4）行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，
即 nn
n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2
121112112
121
112
112
12
21
111211+=+++。

（5）行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
nn
n n jn j j jn in j i j i n nn
n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ2
1
21221
11121121212111211+++=，其中k 为任意常数。

（6）行列式降阶的性质
①行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=，
),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=。

②行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。

三、首师大真题：。