作业3（静电场三）1．电场中某区域内电场线如图所示，将一点电荷从M 移到N 点则必有[ ]。

.A 电场力的功0M N A >.B 电势能M N W W >.C 电势M N U U >.D 电势M N U U <答案：【C 】解：由于静电场的无旋性，电场强度的线积分与路径无关，由M 点到N 点的线积分（即M 点与N 点之间的电势差），可以取任意路径。

现取积分路径为：由M 点到O 点，处处与电场线（电场强度方向）垂直；由O 点到N 点，处处沿着电场线。

则0=⋅=-⎰O M O M l d E U U，0>=⋅=-⎰⎰NONON O Edl l d E U U因此，M 点与N 点的电势差为0)()(>=⋅+⋅=-+-=⋅=-⎰⎰⎰⎰NONOOMN O O M N MN M Edl l d E l d E U U U U l d E U U所以，C 正确，D 错误。

由M 点到O 点，电场力所作的功为（设移动电荷量为q ）⎰⋅=-=N MN M N M l d E q U U q A)( 尽管0>⋅⎰N Ml d E，但不知q 的正负，无法判断NMA 的正负。

当0>q ，即移动正电荷时，电场力作功为正，0>NM A ；如果移动的是负电荷，电场力作功为负，0<NMA 。

电势能是静电场中的带电粒子与电场共同拥有的能量。

定义为，点电荷q 在静电场中M 点时，系统拥有的电势能为：从M 点移动电荷q 到电势零点的过程中，电场力所作的功，MM M M qUl d E q A W =⋅==⎰→0，静电势能等于电荷量与电荷所在点电势的乘积。

电场力所作的功等于静电势能的减少，静电场中M 点与N 点系统的电势能之差，等于移动点电荷q 由M 点到N 点的过程中电场力所作的功)(NM NM N M N M UU q l d E q A W W -=⋅==-⎰→尽管0>-N M U U ，但电势能之差还与电荷q 有关，不能判断N M W W -的正负。

2．图中，A 、B 是真空中的两块相互平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为σ+和σ2-，若将A 板选作电势零点，则图中a 点的电势是[ ]。

.A 032d σε .B 0dσε-.C32d σε- .D3dσε答案：【C 】解：板间电场为023222εσεσεσ=--=E 。

⎰-=-=-dAa d Edl UU 023εσ解：建立直角坐标系，如图。

无限大带电平板A 、B 在两板间的电场强度分别为i E012εσ=，i i E 002)(22εσεσ=--= 两板间电场强度为i i i E E E 00021232εσεσεσ=+=+=电场强度线积分的积分路径为：由板间中点a 指向坐标原点O （板A ），则00002323)(23)(εσεσεσd dx i dx i i dx E l d E U U U d dO aO aO a aO =-=-⋅==-⋅=⋅=-=⎰⎰⎰⎰因为0=O U ，所以23εσd U a =3．如图所示，两个同心球面。

内球面半径为1R ，均匀带电荷Q ；外球面半径为2R ，是一个非常薄的导体壳，原先不带电，但与地相连接。

设地为电势零点，求在两球面之间、距离球心为r 处的的P 点的电场强度及电势。

解：取过点1P 、半径1r )(211R r R <<的同心球面为高斯面S ，⎰=⋅SQ S d E 00/ε，得到021/4επQ E r =)(211R r R <<，电场强度为02104r r Q Eπε=。

电势)11(4442121010210222R rQ dr r Q r d r r Q l d E U R rR rR PP -==⋅=⋅=⎰⎰⎰πεπεπε4．一偶极矩为l q p =的电偶极子放在场强为E 的均匀外电场中，p与E 的夹角为α。

求此电偶极子绕垂直于),(E p 平面的轴沿α增加的方向转过0180的过程中，电场力做的功。

解：设偶极子正电荷初始位置为a ，负电荷初始位置为b 。

转动后正电荷在b 处，负电荷在a 处。

如图，所作的功相当于，把正电荷q +从a 点移到b 点电场力做功)(+A 与把负电荷q -从b 点移到a 点电场力做功)(-A 之和。

⎰⋅=-=--+-=-++=b ab a a b b a l d E q U U q U U q U U q A A A2)(2))(()()()(由于ba q p =，ααcos 2cos 2222pE ba qE ab E q l d E q l d E q b ab a -=-=⋅=⋅=⋅⎰⎰故有αcos 22pE ab E q A -=⋅=。

5．均匀带电球面，半径为R ，电荷面密度为σ。

试求离球心为r 处一点P 的电势。

设()1P 点在球内。

()2P 点在球面上。

（3）P 点在球面外。

解：由于球对称性，由高斯定理求得场强分布0=→内E r (<)R ；0202020244r rR r rREεσπεπσ=⋅=→外 r (>)R 选取无限远处为电势零点，则rRrdrRr d r rR rd E l d E U rrrr022020202εσεσεσ==⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞外外外r (>)RR l d E U Rεσ=⋅=⎰∞ 外球面球面球面内内U U l d E U Rr =+⋅=⎰'5扩展．电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求离球心r 处()r R <的电势。

解：电荷体密度334R Qπρ=由于电场分布具有球对称性， 利用高斯定理可得3002230004 3444rQ Q r r r r rrRρππεπεπε===内r (<)Rrˆ4rˆ434rˆ42020320rQ rRrQ E πεπεπρπε===→外 r (>)R00320022323000 r 44 [3]448R R rRrRR rRQ r Q U E dl E dl r dr drRrQ r Q Qdr dr R r RrRπεπεπεπεπε∞∞∞=⋅+⋅=⋅+⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰外内内6．一圆盘，半径28.010R m -=⨯，均匀带电，面密度522.010C m σ--=⨯⋅ ()1求轴线上任一点的电势（该点与盘心的距离为x ）。

()2由场强与电势梯度的关系，求该点电场强度。

()3计算26.010x m -=⨯的电势和场强。

解：（1）把圆盘无限分割成许多圆环，其中任一圆环半径为/R ，宽为/dR ，该圆环上的电荷量为//2dR R dS dq πσσ⋅==此圆环可以被看作无限细带电圆环，在P 点产生的电势为rdRR rdSrdq dU 0//004244πεπσπεσπε⋅===22/x Rr +=由电势叠加原理，有][22222022///0//x xR xRdR R rdR R dU U RRP -+=+===⎰⎰⎰εσεσεσ（2）由对称性知，电场沿x 方向，i xR x i dx dU i E E x ]1[2220+-=-==εσ（3）m V /1013.1260⨯=εσ。

m x 2100.6-⨯=，V U 4105.4⨯= )/(105.45m V E ⨯= 7．半径为R 的圆弧a b ，所对圆心角α，如图所示，圆弧均匀带正电，电荷线密度为λ。

试求圆弧中心处的电场强度和电势。

解：无限分割带电圆弧为许多电荷元，其中任一电荷元θλλRd dl dq ==可看成点电荷，它在O 点产生的场强为204Rdq dE πε=，电势为Rdq dU 04πε=，以x 轴为对称轴，选另一电荷元/dq 与dq 对称，dq dq =/，则有 20//4RdqdE πε=，由于对称性 0/=+yydEdE，)2/(20/R d dEdEdE xxx πεθλ==+O 点总的场强和电势为所有点电荷在该点产生的场强和电势的叠加。

2sin2cos 2cos 22020απελθπεθλθαRRd dE dEE xOx ====⎰⎰⎰i RE2sin20απελ=απελπεθλα⋅===⎰⎰0422d dU U o8．0=⋅⎰Ll d E表明静电场具有什么性质？答：静电场是无旋场。

静电场中，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。

静电场中，任意闭合回路电场强度的线积分为零。

静电场是保守力场，可以引入电势能和电势的概念。

9．电势为零的空间场强一定为零吗？答：不一定。

电势的零点是人为规定的，有意义的是电势差。

电势差是电场强度的线积分，线积分为零，不等于电场强度为零。

反例：如果取无限远处电势为零，则两个等量异号电荷的中垂面上各点电势为0，电场不为0（除电荷连线中点）。

再如，均匀电场E中，连线垂直于电场强度方向的两点a 和b ，电势差为零，但电场强度不为零。

10．电场强度为零的空间电势一定为零吗？ 答：不一定。

电势的零点是人为规定的。

如，均匀带电球面内部各点场强为0，电势不为0。

但是，电场强度为零，线积分一定为零，空间各点电势相等，电势差为零。

例如，处于静电平衡的导体内，电场强度为零，导体是等势体。