2016-2017 学年四川省宜宾市宜宾县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1．（3 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ≤12．（3 分）下列根式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3 分）已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x ﹣x +a=0 的一个根，则 a 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣14．（3 分）一元二次方程 x ﹣2x +m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（ ） A ．m ＞1 B ．m=1 C ．m ＜1D ．m ≤15．（3 分）设 α、β 是一元二次方程 x +2x ﹣1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣16．（3 分）在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5000cm ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么满足的方程是（ ）A ．x +130x ﹣1400=0B ．x ﹣130x ﹣1400=0C ．x +65x ﹣250=0D ．x ﹣65x ﹣250=07．（3 分）已知，如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（）A ．= B ． = C ． = D ．=8．（3 分）对于两个不相等的实数 a 、b ，我们规定符号 m ax {a ，b }表示 a 、b 中较大的数，如：max {2，4}=4．按照这个规定．方程 max {x ，﹣x }=的解为（）A ．B ．C ．或D ．或﹣1二．填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）化简： = ．10．（3 分）计算：（ ﹣2） （ +2） =．11．（3 分）若 m ：n=5：4，则=．12．（3分）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x ﹣12x +35=0 的根，则该三角形的周长为．222 2 2 22 22014 2015 213．（3 分）某超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业额共 1000 万元．如果平均每 月增长率为 x ，则由题意列方程应为 ．14．（3 分）毕业之际，某校九年级数学性趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同 学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品 30 件，则该兴趣小组的人数为 人．15．（3 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，如果要使△ABC ∽△DCA ，那么还要补充的 一个条件是 ．（只要求写出一个条件即可）16．（3 分）如图，△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，∠B=∠E ．AB 交 EF 于 D ．给出下列结论： ①△ABC ≌△AEF ； ②∠AFC=∠C ；③DF=CF ； △④ADE ∽△FDB 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共 8 个题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分）计算（1）2+6﹣3（2）÷（﹣）× ．18．（10 分）解方程： （1）4x （1﹣x ）=1（2）x +3x +1=0（公式法）19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣（m ﹣2）x + m ﹣3=0（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 x ，x ，且 2x +x =m +1，求 m 的值．20．（8 分）如图，E 是 ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC ，交 AD 于点 F ．在不添加辅助线的 情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．21．（8 分）如图，在 4×3 的正方形方格中 △，ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点 上．（1）填空：∠ABC= °，BC= ；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．22 1 2 1 222．（8 分）已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求 x +y ﹣xy ﹣2x +2y 的值．23．（10 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 10 元， 商场平均每天可多售出 20 件．（1）若商场平均每天要盈利 1600 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）怎样定价能获得最大利润，最大利润是多少？24．（10 分）如图 1 将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处，已知折痕与边 BC 交于点 O ，连结 AP 、OP 、OA ．（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）如图 2，擦去折痕 AO 、线段 OP ，连结 BP ．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P 、A 不重合）， 动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM ，连结 MN 交 PB 于点 F ，作 ME ⊥BP 于点 E ．探究：当 点 M 、N 在移动过程中，线段 EF 与线段 PB 有何数量关系？并说明理由．2 22016-2017 学年四川省宜宾市宜宾县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1．（3 分）（2012•厦门）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ≤1【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x ﹣1≥0， ∴x ≥1． 故选 B ．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于 x 的不等式是解答此题的关键． 2．（3 分）（2016 秋•宜宾县期中）下列根式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．【解答】解：A 、被开方数含开得尽的因数，故 A 错误； B 、被开方数含开得尽的因数，故 B 错误；C 、被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，故 C 正确；D 、被开方数不含分母，故 D 错误； 故选：C ．【点评】本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母．3．（3分）（2016•山西模拟）已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x ﹣x +a=0 的一个根，则 a 的值是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣1【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x =1 代入关于 x 的一元二次方程 2x ﹣x +a=0，列出关于 a 的方程，通过解该方程求得 a 值即可．【解答】解：∵x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x ﹣x +a=0 的一个根，∴x=1 满足关于 x 的一元二次方程 2x ﹣x +a=0，∴2×1 ﹣1+a=0，即 1+a=0， 解得，a=﹣1； 故选 D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程 a x +bx +c=0（a ≠0）的解均满足该方程的解析 式．4．（3 分）（2014•益阳）一元二次方程 x ﹣2x +m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是（）A ．m ＞1B ．m=1C ．m ＜1D ．m ≤1【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于 m 的不等式，解答即可． 【解答】解：∵方程 x ﹣2x +m=0 总有实数根，22 2222 22∴△≥0，即 4﹣4m ≥0， ∴﹣4m ≥﹣4， ∴m ≤1． 故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的△ 关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0△ ⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．5．（3 分）（2016•江西）设 α、β 是一元二次方程 x +2x ﹣1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣1【分析】根据 α、β 是一元二次方程 x +2x ﹣1=0 的两个根，由根与系数的关系可以求得 αβ 的值，本 题得以解决．【解答】解：∵α、β 是一元二次方程 x +2x ﹣1=0 的两个根，∴αβ= =，故选 D ．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．6．（3 分）（2016 秋•宜宾县期中）在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5000cm ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么满足的方程 是（ ）A ．x +130x ﹣1400=0B ．x ﹣130x ﹣1400=0C ．x +65x ﹣250=0D ．x ﹣65x ﹣250=0【分析】挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ，根据整个挂图的面积是 5000cm ，即长×宽=5000， 列方程进行化简即可．【解答】解：挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ； 所以（80+2x ）（50+2x ）=5000，即 4x +160x +4000+100x=5000，所以 4x +260x ﹣1000=0．即 x +65x ﹣250=0． 故选 C ．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，运用面积列方程，展开时注意符号易出错．7．（3分）（2016 秋•宜宾县期中）已知，如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）22 222 22 22 222A．=B．=C．=D．=【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=．故选C．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边的比相等是解答此题的关键．8．（3分）（2016•苏州模拟）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}=4．按照这个规定．方程max{x，﹣x}=的解为（）A．B．C．或D．或﹣1【分析】分x＜﹣x和x＞﹣x 两种情况将所求方程变形，求出解即可．【解答】解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形为﹣x=去分母得：x+2x+1=0，即（x+1）=0，解得：x=x=﹣1，经检验x=﹣1 是分式方程的解；，当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形为x=，去分母得：x﹣2x﹣1=0，代入公式得：x==1±，解得：x=1+，x=1﹣（舍去），经检验x=1+是分式方程的解，综上，所求方程的解为1+或﹣1．故选D【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）QUOTEQUOTE9．（3分）（2012•哈尔滨）化简：=3．【分析】根据算术平方根的定义求出即可．【解答】解：=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，是基础题型，比较简单．10．（3分）（2016 秋•宜宾县期中）计算：（﹣2）（+2）=【分析】先根据同底数幂的乘法进行变形，再由平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=（﹣2）（+2）•（+2）=[（﹣2）（+2）]•（+2）=+2，+2．221223420142015201420142014故答案为 +2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及同底数幂乘法的逆运算，掌握运算法则是解题的关键．11．（3 分）（2015 秋•宜宾期末）若 m ：n=5：4，则=．【分析】由于 m ：n=5：4，于是可设 m=5k ，n=4k ，利用把 m=5k ，n=4k 代入 合运算即可．【解答】解：∵m ：n=5：4， ∴可设 m=5k ，n=4k ，中进行分式的混∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比 性质．12．（3 分）（2012 秋•新都区期末）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x ﹣12x +35=0 的根， 则该三角形的周长为 12 ．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：解方程x ﹣12x +35=0， 得 x =5，x =7，∵1＜第三边＜7， ∴第三边长为 5，∴周长为 3+4+5=12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．13．（3 分）（2015 秋•简阳市校级期末）某超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业 额共 1000 万元．如果平均每月增长率为 x ，则由题意列方程应为 200[1+（1+x ）+（1+x ） ]=1000 ． 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+ 三月份的营业额=1000 万元，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为 200 万元，平均每月增长率为 x ， ∴二月份的营业额为 200×（1+x ），∴三月份的营业额为 200×（1+x ）×（1+x ）=200×（1+x ） ，∴可列方程为 200+200×（1+x ）+200×（1+x ） =1000，即 200[1+（1+x ）+（1+x ） ]=1000．故答案为：200[1+（1+x ）+（1+x ） ]=1000．【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后 的量为 b ，平均变化率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a （1±x ） =b ．得到第一季度的营业额 的等量关系是解决本题的关键．14．（3 分）（2016 秋•宜宾县期中）毕业之际，某校九年级数学性趣小组的同学相约到同一家礼品店 购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30 件，则该兴趣小组的人数为 6 人． 【分析】易得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数×（小组人数﹣1）=30，把相关 数值代入计算即可．22 1 2 222222【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人．x（x﹣1）=30，解得x=6，x=﹣5（不合题意，舍去），12故答案是：6．【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键．15．（3分）（2007•娄底）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或．（只要求写出一个条件即可）【分析】本题主要根据平行推出角的等量关系，再根据对应边的关系，利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC∴都可得相似．答案不唯一，如∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或AD：AC=AC：BC．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．16．（3分）（2016秋•宜宾县期中）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E．AB交EF于D．给出下列结论：①△ABC≌△AEF；②∠AFC=∠C；③DF=CF；△④ADE∽△FDB其中正确的结论是①②④（填写所有正确结论的序号）．【分析】根据SAS可以证明△ABC≌△AEF，根据两角对应相等两三角形相似可以证明△ADE∽△FDB，由此不难得出结论．【解答】解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正确，∴AC=AF，∴∠C=∠AFC，故②正确，∵∠E=∠B，∠EDA=∠BDF，∴△ADE ∽△FDB ，故④正确， 无法证明 DF=CF ，故③错误． 故答案为①②④．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌 握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．三、解答题：本大题共 8 个题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分）（2016 秋•宜宾县期中）计算（1）2+6﹣3（2）÷（﹣）× ．【分析】（1）先依次化简为最简二次根式，再合并； （2）把被开方数相乘除，得 ，再化成 ，得结果．【解答】解：（1）2+6﹣3，=2×+6×=4 +3 ﹣12 =﹣5 ；﹣3×4，，（2）=﹣÷（﹣）×，，=﹣ ， =﹣4 ．【点评】本题是二次根式的混合运算，与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减， 有括号的先算括号里面的；对于二次根式的乘除法，要先确定其符号，再相乘除；注意二次根式的运 算结果要化为最简二次根式．18．（10 分）（2016 秋•宜宾县期中）解方程： （1）4x （1﹣x ）=1（2）x +3x +1=0（公式法）【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程； （2）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程．【解答】解：（1）4x ﹣4x +1=0，△=（﹣4） ﹣4×4×1=0，x=，所以 x =x = ；（3）△=3△ ﹣4×1×1=5，x=，2221 2 2所以 x =，x =．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．19．（8 分）（2016 秋•宜宾县期中）已知关于 x 的一元二次方程 x ﹣（m ﹣2）x + m ﹣3=0（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 x ，x ，且 2x +x =m +1，求 m 的值．【分析】（1）根据判别 △式=（m ﹣3） +3＞0，即可得到结果；（2）根据根与系数的关系，把两根之和代入满足的等式，得到 x ，再把 x 代入方程可以求出 m 的值． 【解答】解：（1）∵△=△ （m ﹣2） ﹣4×（ m ﹣3）=（m ﹣3） +3＞0，∴无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x +x =m ﹣2， 2x +x =x +（x +x ）=m +1， ∴x =m +1+2﹣m=3， 把 x 代入方程有：9﹣3（m ﹣2）+ m ﹣3=0解得 m=．【点评】本题考查了一元二次方程 ax +bx +c=0（a ≠0）的根的判别 △式=b ﹣4ac ： △当＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△=0△ ，方程有两个相等的实数根； △当＜0，方程没有实数根．也考查了一 元二次方程的根与系数的关系．20．（8 分）（2008•宁德）如图，E 是▱ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接 EC ，交 AD 于点 F ．在不 添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形 有：△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF ．【解答】解：相似三角形有△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF ．（3 分） 如：△AEF ∽△BEC ．在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3．（6 分） ∴△AEF ∽△BEC ．（7 分）【点评】考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理．1 2 2 1 2 1 2 21 12 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2221．（8 分）（2014•沈阳校级模拟）如图，在4×3 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长 为 1 的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135 °，BC= 2；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．【分析】（1）先在 △R t BCG 中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC 的度数，再根据∠ABC=∠GBC + ∠ABG 即可得出∠ABC 的度数；在 △R t BCH 中利用勾股定理即可求出 BC 的长．（2）利用格点三角形的知识求出 AB ，BC 及 CE ，DE 的长度，继而可作出判断．【解答】解：（1）∵△BCG 是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC +∠ABG=90°+45°=135°；∵在 △R t BHC 中，BH=2，CH=2，∴BC== =2． 故答案为：135°；2；（2）相似．理由如下：∵BC=2 ，EC= ，∴= = ， = = ， ∴ = ，又∵∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC ∽△DEC ．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观 察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．22．（8 分）（2014•襄阳）已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求 x +y ﹣xy ﹣2x +2y 的值．【分析】根据 x 、y 的值，先求出 x ﹣y 和 xy ，再化简原式，代入求值即可．【解答】解：∵x=1﹣ ，y=1+ ，∴x ﹣y=（1﹣ ）﹣（1+ ）=﹣2 ，xy=（1﹣ ）（1+ ）=﹣1，∴x +y ﹣xy ﹣2x +2y=（x ﹣y ） ﹣2（x ﹣y ）+xy2 2 2 2 2=（﹣2 ） ﹣2×（﹣2 ）+（﹣1）=7+4 ．【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 23．（10 分）（2016 秋•宜宾县期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每 件衬衫每降价 10 元，商场平均每天可多售出 20 件．（1）若商场平均每天要盈利 1600 元，每件衬衫应降价多少元？（2）怎样定价能获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（2）根据（1）中相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元．根据题意，得 （50﹣x ）（20+2x ）=1600整理，得 x ﹣40x +300=0解得 x =10，x =30． ∵扩大销售量，减少库存，∴x =10 应略去， ∴x=30．答：每件衬衫应降价 30 元；（2）设获得利润为 W ，则 W=（50﹣x ）（20+2x ）=﹣2x +80x +1000=﹣2（x ﹣20） +1800，∵﹣2＜0，∴当 x=20 时，W 取得最大值，最大值为 1800，答：定价为 30 元/件时，所获利润最大，最大利润为 1800 元．【点评】本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意抓准相等关系列出方程或函数解析 式是解题的关键．24．（10 分）（2016 秋•宜宾县期中）如图 1 将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处， 已知折痕与边 BC 交于点 O ，连结 AP 、OP 、OA ．（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）如图 2，擦去折痕 AO 、线段 OP ，连结 BP ．动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P 、A 不重合）， 动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM ，连结 MN 交 PB 于点 F ，作 ME ⊥BP 于点 E ．探究：当 点 M 、N 在移动过程中，线段 EF 与线段 PB 有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证 △明OCP ∽△PDA ；（2）作 MQ ∥AB 交 PB 于 Q ，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到 E F= PB ．【解答】解：（1）如图 1，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC ，DC=AB ，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．2 2 1 212 2由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，∴△OCP∽△PDA；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，∴∠APB=∠MQP，∴MP=MQ，∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ，∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM，∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，，在△MFQ和△NFB中，∴△MFQ≌△NFB，∴QF=BF，∴QF= QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．【点评】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．。