知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质【练习题】 1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．4、已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫45，－35 5、在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14D ．16、已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.7、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，a ＋b ＋c ＝0，则a 与c 的夹角为( ) A ．150° B ．90° C ．60°D ．30°8、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.9、设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．4D ．4 310、已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12. (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ·(b －a )的最小正周期．11、已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB ·AC ＝3，求边长b 和c 的值(b >c )．12、如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A 23a 13- bB 23-a 13-bC 13a 23-bD 13-a 23+ b13．△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0， |a |＝1，|b |＝2，则AD ＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 14．(2012·郑州质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2D ．615．(2012·山西省四校联考)在△OAB (O 为原点)中，OA ＝(2cos α，2sin α)，OB ＝(5cos β，5sin β)，若OA ·OB ＝－5，则△OAB 的面积S ＝( ) A. 3 B.32C ．5 3D.532AO MNPB16、若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A .2－1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )． A.12 B.1±22 C.1±102 D.－3±22218如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE ＝2EC ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标． ．【课后练习题】1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C2．(2012·福州模拟)若a ＋b ＋c ＝0，则a ，b ，c ( ) A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B ．一定不可能构成三角形 C ．都是非零向量时能构成三角形 D ．一定可构成三角形 解析：选A3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC ||AB |的值为( )A.12B.13C.14D.16解析：选A4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近B )，那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD 解析：选D5．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选A6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点 解析：选D7．(2012·郑州五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB－AC |，则|AM |＝________.答案：28．(2013·大庆模拟)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．答案：平行四边形9．设向量e 1，e 2不共线，AB ＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD ＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案：④10．设i ，j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA ＝－2i ＋m j ，OB ＝n i ＋j ，OC ＝5i －j ，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m ，n 的值．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.7．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，x2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________. 答案：48． P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．答案：{}(－13，－23)9．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案：k ≠110．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．(5，－3)．11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？方向相反．12．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．8．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 答案：3 29．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．答案：8 210．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . c ＝12b ＝(－1,3)． 11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．α＝30°或α＝210°.。