高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ，∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。