单晶体材料是一个各向异性体。
多相多晶体材料在宏观上表现出“伪各向同性”。 在微区，由于晶界的存在和晶粒的不同取向，弹塑 性变形总是不均匀的。
各 向 异 性 引 起 内 应 力 的 示 意 图
不均匀材料中由于各向异性引起内应力的情况如图所示。
左图为拉伸至一定的应变水平后卸载，因为E不同、σs不同 、n不同所造成的结果。 右图为拉伸至一定的应力水平后卸载，因为E不同、σs不同 、n不同及εp所造成的结果。
在平径角为φ的截面内材料表 面法线成Ψ角方向的应变εφ,ψ与 主应变的关系是：
图7 描述应力状态和应变状态的坐标系
εφ,ψ=ε1sin2Ψcos2φ+ε2sin2Ψsin2φ+ε3cos2Ψ
（9）
利用广义虎克定律，可得
εφ,ψ=[（1+ν）/E]（σ1cos2φ+σ2sin2φ-σ3）sin2Ψ
-（ν/E）（σ1+σ2）+σ3/E
Аксенов认为， εJψ=0°=εz εJψ=εψ
②晶体的X射线衍射基础
图4 布拉格选择反射条件示意图
i)布拉格方程 当一束强度为I。的X射线以掠
射角θ。照射到一个无应力的 晶体上，若相邻两个原子面散 射的X射线的光程差正好等于波 长λ的整数倍。
2D。sinθ。=nλ （6） 则在对称于晶面法向Np的相同角 度θ。处会出现一束强度为I的 衍射线（又称反射线或干涉 线）。
（1） （2） （3）
①宏观应变和晶格应变的概念
定 义 晶 格 应 变 的 示 意 图
材料的微观应变： 受力后多晶体中各个晶粒的某一晶面间距的变化与各个晶粒的不同取向有关。
εJψ=0°=（Dψ=0°-D。）/D。
(4)
εJψ=( Dψ- D。)/D。
(5)
①宏观应变和晶格应变的概念
定 义 晶 格 应 变 的 示 意 图
（17） （18）
由于X射线衍射仪一般测得的是衍射角2θ，因此晶格应变的表达式（8）可改写为
εJφ,ψ=-（1/2）cotθ。（2θφ,ψ-2θ。） 代入式（18）可得
（19）
σφ=[1/（1/2）S2] （εJφ,ψ/ sin2Ψ） ={[1/（1/2）S2]·（-1/2）cotθ。} （2θφ,ψ/ sin2Ψ）
3、X射线弹性常数
在X射线应力测定基本方程式（15）中包含了Voigt弹性常数（1/2）S2 和S1，它们是根据式（12）、（13）由宏观弹性模量E和泊桑比ν计算而得。 E和ν适用于各向同性材料的应力应变关系。
由于X射线衍射的选择性， X射线衍射法测得的是某一晶体学方向的弹 性应变。此时晶体的弹性各向异性将表现出来，若仍沿用Voigt弹性常数， 由X射线衍射法测得的应力值和由弹性力学求得的应力值将不相等。
根据弹性力学求得。 – 从X射线法测得的晶格应变可推知宏观应力。
①宏观应变和晶格应变的概念
单轴应力状态下的宏观应变是：
ε ε x=(X-X。)/X。=σx/E= ψ=90° ε ε z=(Z-Z。)/Z。=(-ν/E) σx= ψ=0° εψ={[(1+ν)/E]sin2Ψ-(ν/E)} σx
定 义 晶 格 应 变 的 示 意 图
Ⅱ r
）
在材料的较小范围
（一个晶粒或晶粒内的区
域）内近乎均匀。Ⅱr 与
相联系的内力或内力矩在
足够多的晶粒中是平衡的。
当这种平衡遭到破坏时也
会出现尺寸变化。
Macherauch的定义
第三类内应力（
Ⅲ r
）
在极小的材料区域
（几个原子间距）内也是
不均匀的。与
Ⅲ r
相关的
内力或内力矩在小范围
（一个晶粒的足够大的部
残余应力可以认为是第一类内应力的工程名称。
至于通常所说的“热处理应力”，“焊接应力”， “铸造应力”等则是实施这些工艺的过程中产生并最终 残留的残余应力（即第一类内应力）的简称。
2、产生
残余应力是材料中发生了不均匀的弹性变形或不均 匀的弹塑性变形而引起的，或者说是材料的弹性各向异 性和塑性各向异性的反映。
图中Np:晶面法线 I。：入射X射线 I：衍射X射线（又称干涉 线或反射线）
布拉格方程在仪器可测 的衍射线位置（布拉格角θ） 和材料的微观尺寸（晶面间 距D）之间建立起定量关系。 为我们探测材料的微观晶格 应变开辟了有效的途径。
ii)衍射园锥
图5法线园锥和干涉园锥形成的示意图
若材料的晶粒足够细小， 被X射线照射的微小材料体 积内存在许多无规取向的小 晶体，且其中正好处于能产 生干涉的有利位向的晶粒也 为数不少，这样可以想象有 两个以入射线为对称轴的园 锥存在。
可得
εφ,ψ=（1/2）S2·σφ·sin2Ψ+ S1（σ1+σ2）
（12） （13）
（14）
iii)基本方程
根据Аксенов的晶格应变与宏观应变一致的基本思想，可得
εJφ,ψ= -cotθ。(△θ) φ,ψ =（1/2）S2·σφ·sin2Ψ+ S1（σ1+σ2）=εφ,ψ (15)
式（15）就是X射线应力测定的基本方程。它表明了作用在试件 表面某个方向的待测应力σφ和用X射线衍射技术确定的衍射线角位 移(△θ) φ,ψ之间的关系。
优点：①属于物理方法，不改变原始的应力状态。 ②理论严谨。 ③方法成熟。
缺点：①测定的是表面应力。 ②对材料的表层状态比较敏感。
1、基本原理
X射线应力测定的基本原理由俄国学者Аксенов 于 1929年提出，它的基本思路是： – 一定应力状态引起材料的晶格应变和宏观应变是一致
的。 – 晶格应变可以通过X射线衍射技术测出；宏观应变可
2、X射线应力测定的sin2Ψ法
根据X射线应力测定基本方程式（15）
εJφ,ψ=（1/2）S2·σφ·sin2Ψ+ S1（σ1+σ2）
（16）
由于主应力之和（σ1+σ2）是应力不变量，所以上式的第二 项为常量。 上式表明，在平径角φ一定的任意截面内不同Ψ角
方向的晶格应变εJφ,ψ与方位角Ψ的正弦平方（即sin2Ψ）线性相 关。
历史回顾
1860年 Woehler 指出火车轴的断裂有内应力作用这个因素。 1925年 Masing 首次提出将内应力分为三类。 1935年 Давиденков依据各类内应力对晶体的X射线衍射现象具
有不同的影响也将内应力分为三类。 1973年 Macherauch提出了新的内应力模型
Macherauch的定义
造成材料不均匀变形的原因主要有：
i)冷热变形时沿截面弹塑性变形不均匀； ii)工件加热、冷却时不同区域的温度分布不均匀，导致
热胀冷缩不均匀； iii）热处理时不均匀的温度分布引起相变过程的不同时
性。
二、X射线应力测定的基本原理
X射线应力测定——用X射线衍射技术来测定材料中 的残余应力（或外载应力）
若以测得的εJφ,ψ为纵坐标变量，以sin2Ψ为横坐标作图可得 一条相关直线。
2、X射线应力测定的sin2Ψ法
s in 2
法 测 定 应 力 的 示 意 图
mφ = εJφ,ψ/ sin2Ψ=（1/2）S2·σφ 即 σφ= mφ/（1/2）S2=[1/（1/2）S2] （εJφ,ψ/ sin2Ψ） 式（18）就是X射线应力测定中sin2Ψ法的基础 。
分）是平衡的。当这种平
衡破坏时，不会产生尺寸
的变化。
Macherauch的定义
Macherauch模型的优点是：
i) Ⅰ 、 Ⅱ 和 Ⅲ 之间
的关系r明确，r是一个完r 整的体 系。
ii)内应力与材料的组织结构 有了紧密的联系。
什么是残余应力
国内科技文献习惯将于第一类内应力称为残余应力
一般英、美文献中把第一类内应力称为“宏观应力” （Macrostress） 把第二类和第三类内应力合称为“微观应力” （Microstress）
2Dcos • 2sin • D 0
Dcos • sin • D
D ctg •
D
负号表示在λ一定时．晶面间距增大，而布拉格角变小。
0 tan0 D D0 / D0
(7)
(D D0) / D0 (D) / D0 J ctg0( )
(8)
ii)宏观应变
对宏观均匀、各向同性的材料 来说主应力方向与主应变方向 一致。
M= 2θφ,ψ/ sin2Ψ
（23）
M是在不同Ψ方向测定的衍射线角位置2θφ,ψ与sin2Ψ直线关系的斜率。
如果知道了X射线应力常数K，又在-45°≤Ψ ≤+45°范围选择若干个Ψ方向测量衍射线 角位置2θφ,ψ，作出2θφ,ψ与sin2Ψ之间的相关直线，并求出斜率M，就可以计算出σφ值。
使用sin2Ψ法的前提条件是被X射线照射的材料表面区域处于平面应力状态，大多数情 况下的实际测定对象是符合这个假定的。
关于残余应力的基本概念 和X射线应力测定的基本原理
绍兴文理学院 张定铨
从事X射线应力测定工作所需要的基础知识包括：
（一）力学基础知识 （二）金属材料基础知识 （三） 金属物理基础知识 （四） 工程实践知识
一、残余应力的基本概念 １、定义
内应力：没有外力或外力矩作用而在物基本方程（15）中必须代之以所谓X射线弹性常数（1/2）S2（hkl） 和S1 （hkl） ，（hkl）为产生衍射的晶面的面指数。与此相应X射线应力常数表达式(22)应 改写为
K=[（1/2）S2（hkl）]·（-1/2）cotθ。·（π/180）
（24）
X射线弹性常数（及X射线应力常数）考虑了晶体弹性各向异性对测试结果的影响，在 X射线应力测定中具有很重要的意义。为了获得它，可通过实验标定或理论计算两种途径 获得。
（20）
又由于X射线衍射仪测量出来的衍射角2θ往往用度为单位，在计算应力值时需换算成 弧度，故又得