第27讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识在ABC ∆中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2a b cp ++=,则 1,正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===, 2,余弦定理:2222cos a b c bc A =+-,2222cos b a c ac B =+-,2222cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R===== = (sin sin sin )rR A B C ++2221(cot cot cot )4a Ab Bc C =++. A 类例题例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900-B )，试判断ΔABC 的形状。

分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。

解 由条件c = asin (900- B ) = acosB = cb c a ac b c a a 22222222-+=-+22222c b c a =-+⇒ 是直角A b c a ⇒+=⇒2221sin sin sin =⇒=A A C cA a 是直角⎫⎬⎭C a c Cca sin sin=⇒=⇒. C a b sin =⇒=⇒c b ΔABC 是等腰直角三角形。

例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =135，sinB =53，则cosC 的值为（ ）A ．6516B ．6556C ．65566516或D ． 6516-解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 1312,而sinB =53显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 54∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ⇔A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。

（2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，当θ为 时，Rr 的值最小。

解答 由题意，R ＝2c ，r ＝2a b c+-．（其中a 、b 、c 为Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长）∴Rr ＝c a b c +-＝1sin cos 1θθ+-＝12sin()14πθ+-．∵sin （α＋4π）≤1，∴Rr ≥121-＝2＋1． 当且仅当θ＝4π时，Rr的最小值为2＋1。

例3 在△ABC 中，tan tan tan tan A B A B -+＝c bc-，求证：B 、A 、C 成等差数列。

分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。

而B 、A 、C 成等差数列的充要条件是A ＝60°,故应证A ＝60°。

证明 由条件得sin()sin()A B A B -+＝sin sin sin C BC-．∵sin （A ＋B ）＝sinC ，∴sin （A －B ）＝sinC －sinB ，∴sinB ＝sin （A ＋B ）－sin （A －B ）＝2cosAsinB ． ∵sinB ≠0，∴cosA ＝12，A ＝60°．∴B 、A 、C 成等差数列。

例4 ∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若222a cb ac +=+，:31):2a c =+且，求角C 的大小。

解 由212222222=-++=+ac b c a ac b c a 可得=cosB ，故B =60，A ＋C =120. 由正弦定理有：213sin sin +==c a C A ，31sin sin ,2A C ∴= 又sinA =sin (120-C )=C C sin 21cos 23+，于是=+C C sin 21cos 2331sin ,2C ∴sinC =cosC ，∴tanC =1, ∴C =45。

∴A ＋C =120,31sin sin ,2A C =要求C 需消去A 。

说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于A 、C 的两个方程链接1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）己知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。

己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。

2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）己知三边，求三个角；（2）己知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

3．解斜三角形：要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么，求什么。

再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。

4．研究三角形的边角关系和判断三角形的形状：运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式，灵活进行边角转换。

三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明，都可归入条件恒等式证明一类，常用到互补、互余角的三角函数关系。

情景再现1 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 2．∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3cos 4B =（1）求cot cot A C +的值（2）设32BA BC ⋅=，求a c +的值3 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A-+cos cos sin 2.（1） 若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.B 类例题例5 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．（１）用a ，θ表示S 1和S 2；（２）当a 固定，θ变化时，求21S S 取最小值时的角θ。

解（1）22111sin ,cos sin cos sin 224AC a AB a S a a θθθθθ==∴==设正方形边长为x ，则cot ,tan cot tan BQ x RC x x x x a θθθθ==∴++=2sin cos sin 2cot tan 11sin cos 2sin 2a a a x θθθθθθθθ===++++22222sin 2sin 22sin 24sin 24sin 2a a S θθθθθ⎛⎫∴== ⎪+++⎝⎭（2）当a 固定，θ变化时，1214sin 244sin 2S S θθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令1211sin 2,44S t t S t θ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭则()10,0 1.2t f t t tπθ<<∴<≤=+令，用导数知识可以证明：函数()1f t t t=+在(]0,1是减函数，于是当1t =时，12S S 取最小值，此时4πθ=。

说明 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。

通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数()tt t f 1+=。

三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。

例6如图，A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45设∠AOE=α.（1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。

解：（1）∵OE=1，EF=3∴∠EOF=60°当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上， 且AE=tan α,BE=tan(45°+α)∴f(α)=S △AOB =21[tan(45°+α)－tan α] =)45cos(·cos 245sin α+︒︒α=2)452cos(22+︒+α 当a ∈（15°,45°]时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA=αcos 1，OB=)45cos(3α-︒ ∴)(αf =S △AOB =21OA ·OB ·sin45°=αcos 21·)45cos(3α-︒·sin45°=2)24cos(26+-απ综上得：f(α)= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∈++]4,12(2)42cos(26]12,0[2)42cos(22ππαππαπ α α（2）由（1）得：当α∈[0，12π]时 f(α)= 2)42cos(22++πα∈[21,3－1]且当α=0时，f(α)min =21；α=12π时，f(α)max =3－1；当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2α－4π≤4π，f （α）=2)42cos(26+-πα∈[6－3,23] 且当α=8π时，f(α) min =6－3；当α=4π时，f(α) max =23所以f(x) ∈[21,23]。

说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。

注意三角函数的综合应用。

例7 海中相距2海里的A 、B 两岛，分别到海岸线l（直线）的距离AC=BD =P ，使∠APB 最大，求点P 的位置，且求∠APB 的最大值。

解 如图，过P 作l 的垂线PQ 交AB 于Q ，,AC l BD l AC PQ DB ⊥⊥∴、，设,,APQ BPQ APB αβαβ∠=∠=∴∠=+，且,CAP DBP αβ∠=∠=，在直角梯形ABDC中，2,ACBD AB CD ===∴=A 作'AA BD ⊥于','A BA ∴=在'K R AA B ∆中求出'AA =，设CP t =（0t ≤≤tan tan tan tan()01tan tan αβαβαβαβ∴==+∴+===>-⋅(0,),tan()2παβαβ∴+∈∴+有最大值时，αβ+也有最大值。

令20,1)40y yt t y =>∴-++=0,y t ⎡>∈⎣20,1)4(40y y ∆∴≥∴+--≥，即21410y --≤142y ∴-≤≤∴≤又y>0,0<y 2max 2y ∴=时，122t y +⎡==+=⎣ ∴当t =y 有最大值，即tan()αβ+有最大值，其值为1，APB αβ∴∠=+的最大值为4π，点P 在点D 时，APB ∠最大，最大值为4π。