2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1（ ）A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量a ,b ，1==b a ,0=⋅b a ，点Q 满足)(2b a OQ +=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a OP P C丨，区域R r R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲第（13）题图第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． （12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则min S 与a无关； ③若a ∥b ，则min S 与b 无关； ④若b >a 4，则min S >0； ⑤若b =a 4,min S =28a ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． （I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．第（20）题图D A D 1（18）（本小题满分12分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S的值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ （II ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值；（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a V ABCD Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DC n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，∴22,cos =>=<m n m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．1综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当pc x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k ca a 11>>+均成立．。