2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤02．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．25．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝010．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为412．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．故选：C．3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．2【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；所以k+α＝1+＝．故选：A．5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，所以b＝﹣2a，所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，解得x＜，故选：A．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为[1，3]，令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．故选：D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；故选：AB．10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，故选：BD．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．故选：BCD．12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）＝，所以D正确；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则＝+，＝+，＝+，∴＜＜，∴p＜n＜m，故答案为：p＜n＜m．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：316．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．解：不妨设x1＞x2，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，②当a≠0时，则，解得a≥1，综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），故答案为[1，+∞）．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而即可得出实数k的取值范围．解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），则∁R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），∵A⫋B∴k≥3，当k＝﹣时，解集为∅，即B＝∅，此时不满足A⫋B当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A⫋B，∴实数k的取值范围是[3，+∞）．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．解：（1）根据题意，对于函数f（x），由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，又，所以a＝1；则．（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则＝；又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝﹣1＝2+﹣1＝，+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＝＝log m2+log m5＝log m10，∴log m10＝2，∴．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN•AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于50，得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，解得：0＜x＜或x＞6，即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．（2）矩形花坛AMPN的面积为，y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，故，将③代入②得，故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：，（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验得到的t值是否符合题意；（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，设∀x1，x2∈R，x1＜x2，则，∴＝，∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，∴k的取值范围为（﹣3，1）．（3）∵函数f（x）的图象过点，∴（a＞0），解得a＝2，设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，∴，，其最大值为m，也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而m＞1，也即h（t）最大值，符合．③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．。