平抛与圆周运动综合
【方法归纳】所谓平抛与圆周运动综合是指物体先做圆周运动后做平抛运动或先做平抛运动后做竖直面内的圆周运动。
解答此类题的策略是：根据物体的运动过程，分别利用平抛运动的规律和圆周运动的规律列方程解得。
例34.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当
球某次运动到最低点时，绳突然断掉。
球飞离水平距离d 后
落地，如图9所示，已知握绳的手离地面高度为d ，手与球
之间的绳长为3d/4，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和
空气阻力。
（1） 求绳断时球的速度大小v 1，和球落地时的速度大小
v 2。
（2） 问绳能承受的最大拉力多大？
（3） 改变绳长，使球重复上述运动。
若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有
竖直方向 41d=2
1gt 2
水平方向d=v 1t ，
联立解得v 1=gd 2。
由机械能守恒定律，有
21mv 22=2
1mv 12+mg (d -3d /4) 解得v 2=gd 25。
（2） 设绳能承受的拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力。
球做圆周运动的半径为R =3d/4
对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=m v 12/R ， 联立解得T=3
11mg 。
（3） 设绳长为L ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有 T-mg=m v 32/L
解得v 3=L g 3
8。
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L ，水平位移为x ，飞行时间为t 1，根据
平抛运动规律有d-L =2
1gt 12，x = v 3 t 1 联立解得x =4()3
L d L -. 当L=d /2时，x 有极大值，最大水平距离为x max =
332d . 【点评】此题将竖直面内的圆周运动和平抛运动有机结合，涉及的知识点由平抛运动规律、牛顿运动定律、机械能守恒定律、极值问题等，考查综合运用知识能力。
衍生题1.如图所示，一质量为M =5.0kg 的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h =0.8m ，其右侧足够远处有一固定障碍物A 。
另一质量为m =2.0kg 可视为质点的滑块，以v 0=8m/s 的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5N 的恒力F 。
当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止。
此时车去恒力F 。
当平板车碰到障碍物A 时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。
已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R =1.0m ，圆弧所对的圆心角∠BOD =θ=106°，取g =10m/s 2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）平板车的长度。
（2）障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离。
（3）滑块运动圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小。
【解析】（1）滑块与平板车间的滑动摩擦力f=μmg ，
对滑块，由牛顿第二定律得 a 1=f/m =μg =5m/s 2；
对平板车，由牛顿第二定律得a 2=(F+f)/M =3m/s 2；
设经过时间t 1，滑块与平板车相对静止，共同速度为v ，则v = v 0-a 1t 1= a 2t 2 解得 t 1=1s （1分） v =3m/s
（2）设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为t 2
则h=12gt 22，x AB =vt 2，
障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离x AB =1.2m 。
（3）对小物块，从离开平板车到C 点，由动能定理得
2210611(1cos )=222C mgh mgR mv mv +--o
在C 点由牛顿第二定律得F N -mg=m 2C v R
联立得 F N =86N 。
由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小为86N 。
【点评】此题考查牛顿运动定律、平抛运动、动能定理、竖直面内的圆周运动等知识点。
衍生题2.如图所示，一根长0.1m 的细线，一
端系着一个质量为0.18kg 的小球，拉住线的
另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速
圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当
小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细
线断开，细线断开前的瞬间细线受到的拉力比开始时大40N ，求：
（1） 细线断开前的瞬间，细线受到的拉力大小；
（2） 细线断开的瞬间，小球运动的线速度；
（3） 如果小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为60°，桌面高出地
面0.8m ，则小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离。
【点评】此题综合考查水平面内的匀速圆周运动和平抛运动，要注意区分落地点距桌边线的水平距离和落地点距飞出桌边点的水平距离。
衍生题3. （2010山东理综第24题）如图所示，四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径
R=0.45m，水平轨道AB长s1=3m, OA与AB均光滑。
一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F=1.6N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力F。
当小车在CD上运动了s2=3.28m时速度v=2.4m/s,此时滑块恰好落入小车中。
已知小车质量M=0.2kg,与CD间的动摩擦因数
μ=0.4。
（取g=10m/2s）求
（1）恒力F的作用时间t。
（2）AB与CD的高度差h。
【解析】：（1）设小车在恒力F 作用下的位移为l ，由动能定理得
222
1Mv Mgs Fl =-μ 由牛顿第二定律得 Ma Mg F =-μ
由运动学公式得 22
1at l = 联立以上三式，带入数据得 2/4s m a =
s a
l t 12== （2）滑块由O 滑至A 的过程中机械能守恒，即 221A mv mgR =
AB 段运动时间为s gR s v s t A 1211===
故滑块离开B 后平抛时间与小车撤掉恒力F 后运动时间相同。
由牛顿第二定律得 a M Mg '=μ
由运动学公式得 t a at v ''-=
由平抛规律得 22
1t g h '=
代人数据得 h=0.8m 。
【点评】此题综合考查机械能守恒定律、动能定理、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识点。
衍生题4（2008山东理综卷第24题）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数宇均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。
弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v=5m/s 的水平初速度由a 点弹
出，从b 点进人轨道，依次经过“8002 ”后从p 点水平抛出。
小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3 ，不计其它机械能损失。
已知ab段长L=1 . 5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0 .0lkg ，g=10m/s2。
求：
( l ）小物体从p 点抛出后的水平射程。
( 2 ）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
【点评】此题综合考查动能定理、平抛运动、圆周运动、牛顿运动定律等知识点。