各章主要公式汇总第一章 集合与数理逻辑用语1.如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A = B. 2.如果C A C B B A ⊆⊆⊆,那么,3.A ⊆A ;φ⊆A ; A ∩A =A ∪A =A ; A ∩φ=φ;A ∪φ=A ; 4.A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔A ⊆B ;5.A ∩ U A =φ; A ∪ U A =U ; U ( U A)=A ; U (A ∪B)= U A ∩ U B6.常用数集:自然数集N 、正整数集N *或N +、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 7.充分条件与必要条件:对命题p 和q ,若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。
当p ⇔q 时,即p 即是q 的充分条件,p 又是q 的必要条件,称p 是q 的充要条件。
8. 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
三种形式:p 或q 、p 且q 、非p 真假判断:p 或q ,都假才假,否则为真;p 且q ,都真才为真;非p ,真假相反第二章 方程与不等式一、一元二次方程1.一元二次方程的的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)2.解一元二次方程的基本方法有求根公式法,直接开平方法,配方法和因式分解法。
4.ax 2+bx+c=0(a ≠0)求根公式:x 1,2=aac b b 242-±-( b 2-4ac ≥0)4.一元二次方程的判别式:△=b 2-4ac(1)△>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根; (2)△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根; (3)△<0⇔一元二次方程的没有实数根。
5. 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)设方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2,则两根与系数a 、b 、c 关系为: x 1+x 2=a b -; x 1.x 2=ac6.配方法:ax 2+bx+c=a[x 2+b ax+22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭]=a(x+2b a )2+244ac b a-(提出系数a 后,加上一次项系数一半的平方,再减去一次项系数一半的平方) 二.一元二次不等式的解法22三.绝对值不等式|x|>a(a>0)解集为{x|x>a 或x<-a}|x|<a (a>0)解集为{x|-a<x<a}第三章 函数1.函数单调性的定义:若函数y =f(x)的定义域是D ,对于任意的x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),则称f(x)是区间D 上的增函数;当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),则称f(x)是区间D 上的减函数。
区间D 称为函数f(x)的单调区间。
若记△x=x 2-x 1, △y=f(x 2)-f(x 1),当xy ∆∆>0,则y=f(x)在区间D 上是增函数;当xy ∆∆<0,则y=f(x)在区间D 上是减函数2.奇函数 当f(-x)= -f(x) 图象关于原点对称,如:y=x3偶函数 当f(-x)=f(x) 图象关于y 轴对称,如:y=x 2y=x3 3、二次函数的定义及表达式(1)形如y =ax 2+bx +c (a ≠0)的函数叫二次函数.二次函数的解析式根据不同的条件,有三种形式: ①一般式:y =a x 2+b x +c (a ≠0);②顶点式:y =a (x -h )2+k (a ≠0)其中抛物线的顶点为(h ,k );③交点式:y =a ( x -x 1)(x -x 2) (a ≠0)其中抛物线与x 轴的交点为(x 1,0),(x 2,0). (2)二次函数 y= ax 2+bx+c(a ≠0)性质① 顶点坐标(-a b 2,ab ac 442-) ②对称轴方程x=-a b 2 ③a>0时,开口向上,y min =ab ac 442-在对称轴左侧,减函数; 在对称轴右侧,增函数。
④a<0时,开口向下,y max =ab ac 442-在对称轴左侧,增函数;在对称轴右侧,减函数。
(3)几种特例1.c=0是y=ax 2+bx+c 图象过原点的充要条件。
2.y= ax 2+bx+c 为偶函数的充条件为b=0,解析式变为y=ax 2+c ,此时图象关于y 轴对称,顶点在y 轴上为(0,c)。
3.y= ax 2图象顶点在原点,关于y 轴对称。
(4)二次函数的△与图象与x 轴交点个数的关系1.当△>0,二次函数有两个根,图象与x 轴有两个交点2.当△=0,二次函数有两个等根,图象与x 轴有一个交点,即顶点(在x 轴上); 3.当△<0,二次函数无实根,图象与x 轴无交点。
当a>0时,图象恒在x 轴上方, 当a<0时,图象恒在x 轴下方。
(5)二次函数f(x)= ax 2+bx+c 的对称性设二次函数的对称轴方程为x=h ,则对任意实数x ,二次函数满足 f(h+x)=f(h-x),即自变量到对称轴距离相等,函数值就相等。
当a>0时,自变量到对称轴距离越大,函数值变越大;a -ab (a ,b) (-a , b) a-a -b(a ,b) (-a ,-b) b当a<0时,自变量到对称轴距离越大,函数值变越小; 设二次函数两根为x 1、x 2,则有x 1+x 2=2h .第四章 指数函数与对数函数1.指数函数和对数函数的概念, 性质和图象如下表:指数函数 对数函数定 义 y=a x(a>0, 且a ?1)y = log a x (a>0且a ?1)定义域 x ? R x > 0 值 域 y > 0 y ? R 奇偶性 非奇非偶非奇非偶图象a>10<a<1a>10<a<1单调性a>1时, 在定义域内为增函数0<a<1时, 在定义域内为减函数a>1时, 在定义域内为增函数0<a<1时,在定义域内为减函数2.对数函数重要结论:底越大,对数值越小第五章 数列等差数列与等比数列 等差数列等比数列定义a n+1-a n =d(常数,n ∈N *)a a nn -1=q (q ≠0, 常数,n ∈N *) 通项公式 a n =a 1+(n-1)d a n =a 1q n-1前n 项和的公式S n =n a a n ()12+S n =na 1+n n ()-12d S n =na 1(q=1时)S n =a q qn 111()--S n =q q a a n --11 (q ≠1)中项 A=a b+2G=±ab性质a m , a n , a p ,a q 中, 若m+n=p+q 则a m +a n =a p +a q a m , a n , a p ,a q 中, 若m+n=p+q 则a m ·a n = a p ·a q第六章 平面向量1、向量加法AB +BC =AC2、向量减法 OA -OB =BA3、a ∥b ✍a =λb (λ∈R , b ≠a )4、a =(a 1,a 2) b =(b 1,b 2) λ∈R①a +b =( a 1+b 1, a 2+b 2) ②a -b =( a 1-b 1, a 2-b 2) ③λa =(λa 1, λa 2)5、a ∥b ✍11b a =22b a 6、 设a =(a 1,a 2),则 |a |=2221a a + 7、设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2- x 1,y 2- y 1)1 1 1 18、两点间距离公式:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则d AB =|AB |=212212)()(y y x x -+- 9、中点公式 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点为M(x ,y),则x =221x x + y =221y y +10、向量内积a ·b =|a | |b |cos<a ,b > 11、a ⊥b ✍a ·b =012. cos<a ,b =||||a b a b ⋅ 13、内量内积坐标运算a =(a 1,a 2),b =(b 1, b 2),则a ·b = a 1b 1+ a 2b 2,14、a ⊥b ✍ a 1b 1+ a 2b 2=0 15、|a |2=a ·a (|a )第六章 空间几何体(一)多面体、旋转体侧面积:1.直棱柱侧面积:h c S ⋅=;2.正棱锥侧面积:h c S '⋅=21, 3.圆柱侧面积:rh h c S π2=⋅=,4.圆锥侧面积:rl l c S π=⋅=21,5.球的表面积:24r S π=(二)多面体、旋转体体积公式:1.柱体:h S V ⋅=; 圆柱体:h r V ⋅=2π2.锥体:h S V ⋅=31; 圆锥体:h r V ⋅=231π。
3.球体:334r V π=(三)几个基本公式:1. 弧长公式:r l ⋅=α(α是圆心角的弧度数,α>0);2.扇形面积公式:r l S ⋅=21; 第七章 三角1、所有与角α始边与终边分别相同的角构成的集合为{x|x=α+k ·360°k ∈Z}2、2π=360° πrad=180° 1rad=(π180)°=57°18′=57.30° 1°=180πrad3、三角函数在各象限的符号(掌握)+ + — + — + — — — + + —sinx cosx tanx 4、同角三角函数的基本关系 ① sin 2α+cos 2α=1 ② tan α=aa cos sin5、诱导公式:⑴sin(α+2 k π)=sin α cos(α+2 k π)=cos α tan(α+2 k π)=tan α ⑵ sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α⑶sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α⑷ sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α ⑸ sin(α+2π)=cosa cos(α+2π)=-sin α(6) sin(2π-α)=cos α cos(2π-α)=sin α 6、三角函数的图象与性质(1)正弦函数图象 y=sinx x ∈R五点法 (0,0),(π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0)(1) 正弦函数性质 ①定义域 R②域值[-1,1]; 当x=2π+2k π(k ∈Z)时,y max =1;当x=-2π+2k π(k ∈Z)时,y min = -1 ③周期性 T=2π④奇偶性 sin(-x)=-sinx 奇函数⑤单调性 [-2π+2k π, 2π+2k π] 单调增 ; [2π+2k π,23π+2k π] 单调减 k ∈Z7、求y=asin α+bcosx=22b a +sin(x+θ)的最大值、最小值和周期最大值为22b a + 最小值为 -22b a + 周期为2π),其中tan θ=abtan θ=33,θ=6π;tan θ=3,θ=3π;tan θ=1,θ=4π;8、和角公式:① sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β ②cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β ③tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+; tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-9、倍角公式:①sin2α=2sin αcos α;②cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1=1-2sin 2α③tan2α=aa 2tan 1tan 2-10、余弦定理①a 2=b 2+c 2-2bccosA ② b 2=a 2+c 2-2accosB ③ c 2=a 2+b 2-2abcosC由三边求三角: cosA=bc a 2c b 222-+; cosB=acb 2c a 222-+ ; cosC=ab c b 2a 222-+ 11、正弦定理 Aa sin =Bb sin =Cc sin12、三角形的面积公式: S=21bcsinA=21acsinB=21absinC13、常用三角函值表x y O π2π1-1第九章 平面解析几何1、直线的点向式方程 已知点P(x 0,y 0)和非零向量v =(v 1,v 2),则过点P 0与v 平行的直线L 方程为:10v x x -=20v y y -其中v =(v 1,v 2)叫直线L 的方向向量。