常微分方程分项习题一、选择题（每题3分） 第一章：1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章：2．下列是一阶线性方程的是（ ）（A ）2dy x y dx=- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+=（C ）22()0dy dy x xy dx dx+-= （D ）cos dyy dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ）（A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dyxy dx dx -+=（C ）2(1)0dy x xy dx+-= （D ）22cos cos d y y x dx =4．下列方程是3阶方程的为（ ）（A ）'23y x y =+ （B ）3()0dy xy dx+= （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dyy dx=5．微分方程43()()0dy dy dyx dx dx dx+-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．方程2342()20dy d yx y dx dx+-=的阶数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程dy x ydx x y-=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程（B ）通过变量变换yu x=可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y =（D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）．（A ）为一阶线性方程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12y x π=++（D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程n y x Q y x P dxdy)()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -⎰ （B ）()nP x dx e ⎰（C ）(1)()n P x dx xe -⎰ （D ）()nP x dx xe ⎰10．针对方程2(cos sin )dyy y x x dx+=-，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1sin xy Ce x=- 11．方程2()dy yxf dx x=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。

（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2yu x= （D ）2u x y =12．方程2()dyx f xy dx=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。

（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2yu x= （D ）2u x y =13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ）（A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解（C ）方程的通解为1y c x c=-- （D ）方程有特解2y =±15．方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=其中(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数，如有1M Ny xM∂∂-∂∂=，则方程的积分因子为（ ）（A ）(,)y x y e μ= （B ）(,)y x y e μ-= （C ）(,)x x y e μ= （D ）(,)x x y e μ-= 16. 若函数()f x 满足关系式 20()()ln 22x tf x f dt =+⎰, 则等于()f x =（ ） （A ）ln 2x e （B ）2ln 2x e （C ）ln 2x e + （D ）2ln 2xe +第三章： 17．方程1ln dyx dx=+满足条件(1)0y =的解的存在区间为（ ）。

（A ）(0,) （B ）[0,) （C ）(1,) （D ）[1,)18．已知方程),(d d y x f xy=（其中(,)f x y 为区域R 上的连续函数），则利普希兹条件是保证方程初值解唯一的（ ）条件．（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 19．利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 20．方程22dyx y dx=+定义在矩形域:22,11R x y -≤≤-≤≤上，则经过点(0,0)的解存在唯一区间为（ ）（A ）[1,1]- （B ）11[,]22- （C ）[2,2]- （D ）11[,]55-21．方程22dyx y dx=+解存在区间为（ ）（A ）[1,1]- （B ）(,)-∞+∞ （C ）[2,2]- （D ）11[,]55-第四章：22. 微分方程''1x y y e -=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数)为（ ） （A ） x ae b + （B ） x axe b + （C ） x ae bx + (D) x axe bx + 第五章：23．初值问题''''270,(1)7,(1)2t x x tx e x x -+++==-=与下列（ ）一阶方程组等价。

（A ）'0107,(1)722t x x x t e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（B ）'1007,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（C ）'0107,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（D ）'0107,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭第六章：24．线性驻定方程组dxx y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点(0,0)是（ ）（A ）不稳定焦点 （B ）稳定结点 （C ）稳定焦点 （D ）鞍点25．线性驻定方程组272dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点(0,0)是（ ）（A ）不稳定焦点 （B ）稳定结点 （C ）稳定焦点 （D ）鞍点26．驻定方程组22dx x y x dt dy x y y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的线性近似方程为（ ）（A ）dx y x dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （B ）11dx y x dtdy x y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（C ）1dx y x dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （D ）1dxy x dtdy x y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩27．已知2x x y =，则方程的4阶差分为（ ）（A ）4422x x y ∆=⋅ （B ）42x x y ∆= （C ）4432x x y ∆=⋅ （D ）442x x y ∆=⋅28．已知523x y x x x =+-，则方程的6阶差分为（ ）（A ）621x y x ∆=+ （B ）691x y x ∆=- （C ）60x y ∆= （D ）63x y x ∆= 补充差分29．已知2x x y =，则方程的4阶差分为（ ）（A ）4422x x y ∆=⋅ （B ）42x x y ∆= （C ）4432x x y ∆=⋅ （D ）442x x y ∆=⋅ 30．已知523x y x x x =+-，则方程的6阶差分为（ ）（A ）621x y x ∆=+ （B ）691x y x ∆=- （C ）60x y ∆= （D ）63x y x ∆= 二、填空题（每题3分） 第二章：1．方程()dyP x y dx =的通解为 （其中()P x 为x 的连续函数）。

2． 形如()()dyf xg y dx=的方程称为 ，且若有0y y =使得0()0g y =成立，则有 为方程的解。

3．伯努利方程2sin tan dyy x y x dx=+，立刻可以判断方程有特解为________________。

4．方程24dyxy x dx=-+的通解为 。

5．方程dy xdx y=-的通解为y = 。

6．(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当方程的充要条件是________________.7．方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=其中(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数，如有1M N y xM∂∂-∂∂=，则方程有积分因子为(,)x y μ=________________.8. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。

9. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含y 的积分因子的充要条件是 。

10.方程22(2)()0xy y dx y y x dy -+++=只含有y 的积分因子为()y μ= 。

11．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。

12．一阶隐式方程(,)dyy f x dx=的方程，可以引进参数 对方程进行求解。

. 第三章： 13.方程22dyx y dx=+满足条件(0)0x =的解有__________个。

14. 函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，即存在常数0L >，对于所有R y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式 成立。

15. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。

第四章： 16. 若()(1,2,)i x t i n =为齐线形方程的一个基本解组， ()x t 为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表示为 。

17. 设)(),(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t f x t A x +='的解，则满足方程)()()(21t f t f x t A x ++='的一个解可以为___________。