（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y
(1) y
1 y x
1 ( x 0); x
x
1 ( , 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
？
讨论1：根据函数单调性的定义，
能不能说y 1 ( x 0)在定义域( , 0) (0, )上 x 是单调减函数?
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义I域内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2.
( , 0] y x2 +2的单调增区间是 _______;
y x +2的单调减区间是_______.
2
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y=-x2+2
[0, )
1
2
x
例3:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y＝f（x）是增函数还是减函数？ 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1） [1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上 是减函数， 在[－2，1）， y [3，5）上是增函数.
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
y y
o
x
o
x
y=kx+b (k>0)
y=kx+b (k<0)
） k 0时，在（ ， ） k 0时，在（， 上为增函数 上为减函数
（2）二次函数单调性
y ax
2
b bx c(a 0) 的对称轴为 x 2a
y ax2 bx c
a>0
a<0
单调增区间
b , 2 a
单调减区间
b , 2a
b , 2a
b , 2a
（3）反比例函数的单调性
k y x ( k 0)
结论： k 0时，函数在（ ， 0）和（ 0， ） 两个区间上都是减函数 k 0时，函数在（ ， 0）和（ 0， ） 两个区间上都是增函数
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
D
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
f(x1) O
M
N
对区间D内任意
x1，x2 ，
D x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数， D称为 f (x)的单调 增区间.
y
10 8 6 4 2 O -2 2 4 6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点 P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
y
y x2
o x
下表是函数 f ( x) x 中y随x的变化 情况
2
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
…
f ( x) x
… 16 9 4
1
0 1 4 9 16 …
分析函数值的变化可得到函数的单调性。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (1)< f(2)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2) f(1) O 1 2x
(1)一次函数的单调性
函数的单调性
杨阳
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
如图为五常某日24小时内的气温变化图．观察这 张气温变化图，观察图形,你能得到什么信息?
1. 两个定义：增函数、减函数的定义； 2. 两种方法: ①图象法判断函数的单调性： 增函数的图象从左到右 上升 下降 ②定义法证明函数单调性，步骤: 取值 作差变形 定号 下结论 减函数的图象从左到右
3.一个数学思想：数形结合
练习册：
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内任意
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
，且 x1
变 形
x1, x2 1,
x2 x1 x2 0, x1 x2 1 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 1 所以函数 y x 在区间上 1, 是增函数. x
定号
结论
1 试用定义法证明函数 f ( x) x 在区间 0, 上是单调增函数。
3
2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 2 3 4 5x 作图是发 现函数单 调性的方 法之一.
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的，讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义，则写成闭区间，当然写成开区间 也可以；若函数在区间端点处无定义， 则必须写成开区间。