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例3.判断函数 y x 在 定1 义域
上0的, 单调性.
x（教材P43/7(4))
并给出证明
描点作图
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
y=x
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数；
y
y x2
o
x
y （1）y = x
y=x
1·
x1
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
f(x1)
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
1·
x1 O
y=x
1· x
f(x1)
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
y
y = x2
f(x1)
1·
O 1·x1 x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
f(x1) y = x2
1·
O 1· x1 x
此函数在区间 [0, +∞ ) 内y随x的增大而增 大，在区间 （-∞, 0 ] 内y随x的增大而减小。
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
0
x1
O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
f(x1)
y
y = x2
1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
f(x1)
1· x1 O 1·
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的 单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易 掌握 ，按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、 二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数 学生的现有认知结构中
能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教 学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念 的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强 根据以上分析本节课教学方法 以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数 的图象进行了删除，教学中始终以一次函数，二次函数等函数为例子进行讨论研究。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
由此得出单调增函数和单调减函数的定义.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
x 1 x 0 x 1 x 0
________
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？
作业
1、教材 p37 /5，6，7
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。
3、证明函数
f（x）=
x
1
在
单调递增的。(选做) x
数量 特征
x2 x
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
x2 x
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
1) x1
(x2
1 x2
)
作差Байду номын сангаас
( x1
x2
)
(
1 x1
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1 x2
)
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
Q x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
y
y1
x
x
？
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)_U_, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) U(0, )上 x
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0