北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
Revised by Chen Zhen in 2021
第一章 培优训练
1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ．
3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ．
4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ．
(3题图)
(4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一
些钢管EF 、FG 、GH ……
添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。

7．两个三角形如果具有下列条件：
①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有
( )个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 (1题图) (2题图)
(5题图)
E D
(B)
B C A
8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M
是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( )
A ．20°
B ．35°
C ．55°
D ．70°
9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( )
A
．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( )
A ．3
B ． 23
C ．10
D ．4
11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝
21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ，
（1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分）
（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分）
13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与
∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B C
E D
A B C D
E F
A B
C
D M (10题图)
求证：①G 是CE 的中点．②∠B=2∠BCE ．
（15题图）
16.如图，美伊战争中，特种兵在C 处发现E ，F 处各有一股伊军，电传A ，B 两处的美军，此时，△ABC 为等边三角形，F ，E 点恰好在BA ，BC 的延长线上，由于伊军分布情况，A 股美军抵F 后分化一部分向CE 中点D 行军，经测量，AF=BE,试判断FD 能为F 到CE 的最近距离吗并说明理由。

（15分）
F
A
B C D E
图16
17.在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=.
（1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求
NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改
18、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠CDE ．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在
的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．19、如图，已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为
h 1、h
2
、h
3
，则△ABC高为h。

（1）若点P在一边BC上如图（1），请问h1、h2、h3、h之间有何关系
（2）若点P在△ABC内如图（2），上述结论是否还成立若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系
20、已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，
求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形证明你的结论．。