模块一：基本辅助线1.如图，已知AC=BD,ADL AC,BC丄BD 求证：AD=BC.2.如图，（1）求证：（2 ）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）①如图（1）,当OELAB时，四边形OMBN勺面积为②如图（2）,当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN勺面积会发生变化吗？试证明你的结论.5.如图所示，在^ ABC中，AB=AC ,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF ,EF 交BC 于G.求证：EG=FG。
AB=AE,/ABC玄AED,BC=ED点F 是CD的中点,AF丄CD.F'{11£重合，OE OG分别与正方形ABCD勺边交于M N两点.3. 如图，/ B=/ E, / C=/ D,BC=DE,M为CD中点，求证：AML CD.模块二：母子型1已知：如图，点 C 为线段AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点 B M 交CN 于点7 （1） 求证：AN=BM;（2） 求证：△ CEF 为等边三角形2.如图，已知，等腰 Rt △ OAB中，/ AOB=90 °,等腰 Rt △ EOF 中，/ EOF=90 °,连结 AE 、 BF 。
求证：(1) AE=BF ;( 2) AE 丄 BF 。
3.如图1，若四边形 ABCD 四边形GFEC 都是正方形，显然图中有 AG=CE AGL CE6.如图，在△ ABC 中, 作 EG1 BC 于 G ( 1) =BF+CGAB=AC E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线，连 DE 交BC 于 F ,过点 若/A=50°,/ D=30° 求/ GEF 的度数；（2 ）若 BD=CE 求证：E FGE ,C（2）在图①的基础上，将△ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图② 所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P.求证：△ PAMN总----------国］（1 ）当正方形GFED绕D 旋转到如图2的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明; 若不成立，请说明理由；（2）当正方形 GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长 CE 交AG 于H,交AD 于 M ①求证：AG! CH②当AD=4 DG=/2时，求CH 的长.4.如图，已知△ ABD △ AEC 都是等边三角形， AF 丄CD 于点F , AH1 BE 于点H,问：（1） BE与CD 有何数量关系？为什么？（2） AF AH 有何数量关系？为什么?5.已知：如图①所示，在△ ABC 和^ ADE 中，AB=AC AD=AE / BAC=Z DAE 且点 B, A , D 在一条直线上，连接 BE, CD M, N 分别为BE, CD 的中点. （1 ）求证：①BE=CDAMN 是等腰三角形；JCcA1，在△ ABC 中，/ ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一点，连接AD 以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF(1)如果 AB=AC / BAC=90 ,①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合)，如图2，线段CF BD 所在直线的位置关系为 线段CF BD 的数量关系为②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图 3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由； (2)如果ABM AC, / BAC 是锐角，点D 在线段BC 上,当/ACB 满足什么条件时，CF 丄BC (点C F 不重合)，并说明理由.p. ( 2009?丰台区一模)如图 S3A图IF匚模块三倍长中线(1)倍长中线(2)倍长类中线1.已知：如图，△ ABC中, AD平分/ BAC 且BD=CD求证: AB=AC（2）在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ° ,其他条件不变，得到图②所示的图形•请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PAMN11 2.已知，如图△ ABC 中，AC>AB AM 是 BC 边上的中线，求证：—(AC-AB < AMk - (AB+AC).223.如图所示，已知△ ABC 中，AD 平分/ BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC 求证:EF// AB.AD >^ ABC 的 中线，E 、F 分别在 AB AC 上，且 DEI DF 求证：BE+CF> EF .4.如图，已知在△ ABC 中, AB=ACCE 是AB 边上的中线，延长AB 到D,使BD=AB 连接CD 求6.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
4.如图, 证：CE J CD.7.分别以△ ABC的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,M 为BC 的中点，求证:AML EG.8如图，△ ABC 中，AB=4, AC=7 M 是BC 的中点，AD 平分/ BAG 过M 作MF// AD ,交AC 于F9.在^ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，（1）求证：AB+AC>2AM;（2若 AB=5, AC=9,求 AM 的△ ABC 中，AC=8 BC 边上的中线 AD=6则边AB 的取值范围是 如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC E 为BC 的中点，过点 E 作EF// AD 交AB 于点G,交10. 11.CA 的延长线于点 F .求证：BG=CF卜求FC 的长.BAC2 DAE=90 , M 是 BE 的中点，AB=AC AD=AE 求证：（1） CD=2AM,16.在^ ABC中， ACFG 点 M 为 BC 中点，(1)求证：AM 丄 EG; (2)求证:EG=2AM.模块四、截长补短一.截长：截取较长线段， 二•补短：延长较短线段， 适用范围：条件或题目中出现“ 目的：构造全等三角形1. 如图，在△ ABC 中,/ B=2/ C,AD 丄BC 于 D,求证：CD=BD+AB.分别以△ ABC 的边AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形使其和较短线段长度相等。
使其和较长线段长度相等。
a+b=c ” 或“ a-b=c ”14.如图所示，/FM N 分别是BC CD上的点，/ MAN=45 .3、如图所示，已知△ ABC 中, AD 平分/ BAC,E 、F 分别在BD AD 上，DE=CD 已知ABCD 是正 方形，E 、F 分别在 CB CD 的延长线上，/ EAF=135，求证：BE+DF=EF.4. 如图，5. (1)△ ABC 绕着点A 按逆时针旋转“/ BAE 的度数”后的像;(2) 试判断AD 是否平分/ CDE 并说明理由.5.如图，在四边形 ABCD 中，/ B=/ D=180° ,AB=AD,EF 分别是线段 BC CD 上的一点，且1BE+FD=EF 求证：/ EAF J / BAD.2五边形 ABCD 冲，AB=AE BC+DE=CP / ABC+Z AED=180 .连接 AD. 同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作7.已知：如图，在正方形 ABCD 中，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，/ MAN=45 , A H7.已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/ FAE 求证：BE+DF=AE如图，已知△ ABC 的周长是22, OB 0C 分别平分/ ABC和/ AC B J O DLBC 于D,且0D=3ADX BC 于 D,且 AB+BD=DC 另E 么/ C=(4.已知，如图， ABCD 是正方形，/FAD=/ FAE.求证：BE+DF=AE.5.如图△ ABC 是正三角形，△ BDC 是顶角/ BDC=120的等腰三角形，以D 为顶点作一个608. 如图，△ ABC 是正三角形，/ ADC=120，求证: BD=AD+CD.模块五角平分线的性质与判定1. 2. 如图, 求证: BE=CF AD 是/ DEI AB 的延长线于点 E , DF 丄AC 于点F ,且DB=DC BAC 的平分线.3.4角，角的两边分别交AB AC边于M N两点，连接MN探究：（1）线段BM MN NC之间的数量关系.（2）若点M N分别是AB CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM MN NC之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以说明:角平分线+平分线，等腰三角形必呈现点垂线，垂两边，线等全等都出现角平分线+垂线，中点全等必可见角分线，分两边，对称全等要记全如图，在^ABC中，BD CD分别平分/ ABC和/ ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6 求^ DEF1,若/ BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。
(2)如图2,若/ BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E 作EF丄AB,垂足为F,猜想2BF AB AC的关系并证明。
3.如图，△ ABC中，AB=2AG / 仁/2, DA=DB 你能说明DCI AC吗?4.在^ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC,BE平分/ ABC,CEI BE,求证：(1)BD - BE=AB- BC;(2)CE= - BD.2模块六、角平分线的四大基本模型12341CBAC / C=20, AB+BD=AC 则/ B 的度数是6.已知，等腰△ ABC / A=100°,AD=EC.7.如图，AD>^ ABC的角平分线, H, G分别在AC AB上，且HD=BD(1 )求证：/ B与/ AHD互补;(2)若/ B+2/ DGA=180，请探究线段AG与线段AH HD之间满足的等量关系，并加以证8.(1)如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.5.如图，已知△ ABC中，AD平分// ABC的平分线交AC于D,BD=BE,(1)求/ DEC;(2)求证:5（2）如图，AD 是△ ABC 中/ BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且 AB>AC ,求证：AB- AO PB-PC9.如图，△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC AD 丄 BC 垂足是 D, AE 平分/ BAD 交 BC 于点 E. 在^ ABC 外有一点 F 使FA丄AE, FC 丄BC.（ 1）求证：BE=CF （ 2）在AB 上取一点 M,使B M=2DE 连接 MC 交AD 于点N,连接 ME 求证：①MELBC ②DE=DN.10. （1）如图，在△ ABC 中，/ ABC / ACB 的平分线相交于 F ,过F 作DE// BC分别交AB AC 于点D E .判断DE=DB+E是否成立？为什么？（ 2）如图，若点 F 是/ ABC 的平分线和 外角/ ACG 的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE DB EC 之间有何数量关系？证明你的猜想.11.如图，在△ABC中，BE是/ ABC的角平分线，AD丄BE垂足为D,求证：/ 2=/ 1+/ C.13.如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD BC于点E、F.且FGIAB, 垂足为G,求证：CE=FG模块七垂直平分线1.如图，已知AB=AC DE垂直平分AB交AC AB于E、D两点，若AB=12cm BC=10cm / A=50° 求^ BCE2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求，发射塔P到两城镇A B的距离必须相等，到两条高速公路m 和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺.规作图，不写作法，保留作图痕迹）14.的周长和/ EBC的度数。