问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5 顶点数V 5 12 7
(7)
面数F 5 12 8
(8) 棱数E 8 24 12
（7）
（6）
简单多面体
V+F-E=2（欧拉公式）
规律


E=V+F-2
E=各多面体棱数之和的一半

E=顶点数与共面顶点数之积的一在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
1 60+（x+y) － 2（3×60）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
1 1 （ 5x+6y)= （3×60） 2 2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20 答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个．
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系． （2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
问题3:欧拉公式的应用
例1
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的 三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个． 1 由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= 2（3×60） 根据欧拉公式，可得
（1）
正四面体
（2）
正六面体
（3）
正八面体
正十二面体
正二十面体
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
图形编号 （1 （2）
（2）
顶点数V 4 8
（3）
面数F 4 6
（4） 棱数E 6 12
（3）
（4）
6 9
8 8
12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
讨论
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
20 12 30
几何原本

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13 卷。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而 流传最广的书籍。欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300 年，原书早已失传，1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了 15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启与利玛窦相识后， 他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原 本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882） 和英国人伟烈亚力译完的。）。《几何原本》第一卷列有23个定义， 5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设），. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了 几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并 最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也 不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公 设的前提下进行了另外情况的讨论。
欧拉公式
多面体
多面体的定义
若干个平面多边形围成的几何体
（1）
（2）
（3）
多面体的面
(4)
棱 顶点 六多面体等
多面体的有关概念 多面体的分类 凸多面体
四多面体 五多面体
(5)
把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各 面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体
多面体
正多面体
每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为 其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.