9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫作抛物线.点F 叫作抛物线的 ,直线l 叫作抛物线的 .注意若定点F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.抛物线的几何性质标准方程y 2=2px (p>0) y 2=-2px (p>0) x 2=2py (p>0) x 2=-2py (p>0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离图 形顶 点 对称轴 x 轴焦 点 Fp2,0 F -p2,0F 0,p 2 F 0,-p2离心率 e=准线方程x=-p2 x=p2y=-p2y=p2范 围x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x∈R 开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0,y 0))|PF|= x 0+p 2 |PF|= -x 0+p 2 |PF|= y 0+p 2 |PF|=-y 0+p 21.设AB 是过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2pppp2p(α为弦AB所在直线的倾斜角);(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(4)S△AOB=p22pppα(α为弦AB所在直线的倾斜角);(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是p4,0.()2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B 两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|= .关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92,0)为圆心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB|= .思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( )A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,理5)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(p 0>p2)是抛物线C上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p 2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x(2)已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2),若线段AF 的中点B 在抛物线上,则|BF|=( )A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|pp ||pp |的最大值是( )A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A ,B 两点,直线l 2与抛物线C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10 思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C :y 2=2x ,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ,B 两点(A ,B 均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l 过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F (1,0),且与C 交于M ,N 两点,则p= ,|pp |9−1|pp |的最小值是 .考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C :y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆x 2+y 2-2x=0于M ,N 两点,其中P ,M 位于第一象限,则1|pp |+4|pp |的值不可能为( )A.3B.4C.5D.6(2)已知P 是抛物线y 2=4x 上任意一点,Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为( )A.52B.3C.√3+1D.2√3-1思考求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|pp ||pp |=( )A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)(2020山东临沂二模,8)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( )A.4B.8C.4√2D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.指点迷津(二) 求曲线轨迹方程的方法曲线C 与方程F (x ,y )=0满足两个条件:(1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解;(2)以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上.则称曲线C 为方程F (x ,y )=0的曲线,方程F (x ,y )=0为曲线C 的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程. (3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x ,y ),另一个在已知曲线上运动,设为(x 0,y 0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即{x 0=f(x,y),y 0=g(x,y),将x 0,y 0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t ,求出动点(x ,y )与参数t 之间的关系{x =f(t),y =g(t),消去参数即得所求轨迹方程.(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程. 一、直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC 的三个顶点分别为A (-1,0),B (2,3),C (1,2√2),定点P (1,1). (1)求△ABC 外接圆的标准方程;(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ,F 两点,求弦EF 中点的轨迹方程. 解(1)由题意得AC 的中点坐标为(0,√2),AB 的中点坐标为(12,32),k AC =√2,k AB =1,故AC 中垂线的斜率为-√22,AB 中垂线的斜率为-1,则AC 的中垂线的方程为y-√2=-√22x ,AB 的中垂线的方程为y-32=-(p -12).由{p -32=-(p -12),p -√2=-√22p ,得{p =2,p =0,所以△ABC 的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC 外接圆的标准方程为(x-2)2+y 2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MN⊥MP,得pp⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·pp⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为(p-32)2+(p-12)2=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.二、定义法求轨迹方程【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C 的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.方法总结定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A :(x+2)2+y 2=1与点B (2,0),分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程.(1)△PAB 的周长为10;(2)圆P 与圆A 外切,且过B 点(P 为动圆圆心);(3)圆P 与圆A 外切,且与直线x=1相切(P 为动圆圆心).三、代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图所示,抛物线E :y 2=2px (p>0)与圆O :x 2+y 2=8相交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0,y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ,D 两点,分别以C ,D 为切点作抛物线E 的切线l 1,l 2,l 1与l 2相交于点M.(1)求p 的值;(2)求动点M 的轨迹方程.解(1)由点A 的横坐标为2,可得点A 的坐标为(2,2),代入y 2=2px ,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E :y 2=2x.设C (p 122,p 1),D (p 222,p 2),y 1≠0,y 2≠0,切线l 1的斜率为k ,则切线l 1:y-y 1=k (p -p 122),代入y 2=2x ,得ky 2-2y+2y 1-k p 12=0,由Δ=0,解得k=1p 1,所以l 1的方程为y=1p 1x+p12, 同理l 2的方程为y=1p 2x+p 22.联立{p =1p 1p +p 12,p =1p 2p +p 22,解得{p =p 1·p 22,p =p 1+p 22. 易知CD 的方程为x 0x+y 0y=8,其中x 0,y 0满足p 02+p 02=8,x 0∈[2,2√2],由{p 2=2p ,p 0p +p 0p =8,得x 0y 2+2y 0y-16=0, 则{p 1+p 2=-2p 0p 0,p 1p 2=-16p 0,代入{p =p 1p 22,p =p 1+p 22,可得M (x ,y )满足{p =-8p 0,p =-p0p 0,即{p 0=-8p ,p 0=8pp,代入p 02+p 02=8,化简得p28-y 2=1,因为x 0∈[2,2√2],所以x ∈[-4,-2√2].所以动点M 的轨迹方程为p 28-y 2=1,x ∈[-4,-2√2].方法总结对点训练3如图,已知P 是椭圆p 24+y 2=1上一点,PM ⊥x 轴于点M.若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λpp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求点N 的轨迹方程;(2)当点N 的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程【例4】点A 和点B 是抛物线y 2=4px (p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB 于点M ,求点M 的轨迹方程.解当AB 所在直线的斜率不存在时,M 为一定点,坐标为(4p ,0). 当AB 所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b (k ≠0),由{p =pp +p ,p 2=4pp ,得k 2x 2+2(kb-2p )x+b 2=0.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2(2p -pp )p 2,x 1x 2=p 2p 2.所以y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=4ppp.由OA ⊥OB ,知x 1x 2+y 1y 2=0,则b=-4pk. ①设点M (x ,y ),由OM ⊥AB ,知pp ·k=-1,y ≠0, 则k=-pp .②由①②及y=kx+b 消去k ,b ,得x 2+y 2-4px=0(y ≠0).又点(4p ,0)的坐标满足x 2+y 2-4px=0,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px=0.方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参—求参—消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.对点训练4在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (1,0),B (2,2),若点C 满足pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t ∈R ,则点C 的轨迹方程是 .五、交轨法求轨迹方程【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C :p 218+p 29=1的短轴端点分别为B 1,B 2,点M 是椭圆C 上的动点,且不与B 1,B 2重合,点N 满足NB 1⊥MB 1,NB 2⊥MB 2. (1)求动点N 的轨迹方程;(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值.解(1)(方法1)设点N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0). 由题意知点B 1(0,-3),B 2(0,3),所以p pp 1=p 0+3p 0,p pp 2=p 0-3p 0. 因为MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2, 所以直线NB 1:y+3=-p 0p 0+3x , ① 直线NB 2:y-3=-p 0p 0-3x , ②①×②得y 2-9=p 02p 02-9x 2. 又p 0218+p 029=1,所以y 2-9=18(1-p 029)p 02-9x 2=-2x 2,所以动点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(方法2)设点N (x ,y ),M (x 0,y 0)(x 0≠0). 由题意知点B 1(0,-3),B 2(0,3), 所以p pp 1=p 0+3p 0,p pp 2=p 0-3p 0. 因为MB 1⊥NB 1,MB 2⊥NB 2, 所以直线NB 1:y+3=-p 0p 0+3x , ① 直线NB 2:y-3=-p 0p0-3x ,②联立①②,解得{p =p 02-9p 0,p =-p 0.又p 0218+p 029=1,所以x=-p02,故{p 0=-2p ,p 0=-p ,代入p 0218+p 029=1,得p 29+p 292=1.所以动点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(方法3)设直线MB 1:y=kx-3(k ≠0), 则直线NB 1:y=-1p x-3. ①直线MB 1与椭圆C :p 218+p 29=1的交点M 的坐标为(12p2p 2+1,6p 2-32p 2+1).则直线MB 2的斜率为p pp 2=6p 2-32p 2+1-312p 2p 2+1=-12p .所以直线NB 2:y=2kx+3. ②由①②得点N 的轨迹方程为p 29+p 292=1(x ≠0).(2)由(1)(方法3)得直线NB 1:y=-1px-3,① 直线NB 2:y=2kx+3. ②联立①②,解得x=-6p2p 2+1,即x N =-6p2p 2+1,又x m =12p2p 2+1,故四边形MB 2NB 1的面积S=12|B 1B 2|(|x M |+|x N |)=3×(12|p |2p 2+1+6|p |2p 2+1)=54|p |2p 2+1=542|p |+1|p |≤27√22,当且仅当|k|=√22时,S 取得最大值27√22.方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.对点训练5(2020河北唐山一模,文20)已知P 是x 轴上的动点(异于原点O ),点Q 在圆O :x 2+y 2=4上,且|PQ|=2.设线段PQ 的中点为M.(1)当直线PQ与圆O相切于点Q,且点Q在第一象限时,求直线OM的斜率;(2)当点P移动时,求点M的轨迹方程.9.7抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0)y轴 1考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p2),两焦点的距离为√1+p24=2,解得p=2√3.故选A.3.B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.4.C设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15由于焦点F(1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l:y-1=k(x-1),由{p-1=p(p-1),p2=4p消去x,得ky2-4y+4-4k=0,由P为线段AB的中点可知y1+y2=4p=2,所以k=2,所以直线l的方程为y=2x-1,y1y2=-2,所以|AB|=√1+(1p)2·√(p1+p2)2-4p1p2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(p -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A. (2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p2=x 1+x 2+p.由{p =√3(p -1),p 2=4p ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|pp ||pp |=p (1-|cos p |)2p, 解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2p sin 2p ,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4p ⃗⃗⃗⃗ ,∴|pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴|pp ||pp |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|pp ||pp |=|pp '||pp |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p×(p2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(p 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(p 0+p2), 解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|pp ||pp |=12·|pp 1|+|pp 1||pp |=|pp |+|pp |2|pp |.在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|AF|+|BF|)2-(|pp |+|pp |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|pp |+|pp |)2|pp |2≤43,即|pp |+|pp ||pp |≤2√33, 所以|pp ||pp |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{p =p (p -1),p 2=4p ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2p 2+4p 2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1p (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2p 2+4p 2+2+4k 2+4=4k 2+4p 2+8≥2√4p 2·4p 2+8=16,当且仅当4k 2=4p 2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{p =pp +p ,p 2=2p ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(p 1p 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{p =pp +1,p 2=4p ,得y 2-4my-4=0, 所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|pp |9−1|pp |=p 1+19−1p2+1=p 1+19−11p 1+1=p 1+19+1p1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|pp |+1|pp |=1p1+1+1p2+1=1pp 1+2+1pp 2+2=p (p 1+p 2)+4(pp 1+2)(pp 2+2)=p (p 1+p 2)+4p 2p 1p 2+2p (p1+p 2)+4=4p 2+4-4p 2+8p 2+4=1,所以|pp |9−1|pp |=|pp |9−(1-1|pp |)=|pp |9+1|pp |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|pp |=n-1.根据抛物线的常用结论,可知1p +1p =2p =1,则p +ppp =1,即m+n=mn , 所以1|pp |+4|pp |=1p -1+4p -1=4p +p -5pp -(p +p )+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n )·(1p +1p )=4+4p p +p p +1≥5+2√4p p ·p p =9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|pp |+4|pp |≥4.故1|pp |+4|pp |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14p 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D . 对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p 2,所以|pp ||pp |=|pp |-p2|pp |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p 2=x A ,|DF|-p 2=x D .由{4p -3p -2p =0,p 2=2pp ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D =p 8.故|pp ||pp |=p p pp=2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线,则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =p 2-p 1p 2-p 1=-8p 8p=-1.例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2, ①联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4p 2+8p 2(k<0), ②x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4p 2+8p 2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8p ,① y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8p ,③ y 1y 2=2p 22=16,④消去y 2得(8p )216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23,故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4), 所以可得y A +y B =8,x C -p2=2×1,所以x C =2+p2,x A +x B =4+p.设直线AB 的方程为x=my+p2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B =m (y A +y B )+p=8m+p. 则{8=2pp ,8p +p =4+p , 解得p=8,m=12.对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+p 2·|y 1-y 2|=√1+p 2·√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√1+p 2·√16p 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2, 即√16p 2+16=4√2,解得t=±1. 则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D . (2)联立{pp -p -p =0,p 2=4p消去x ,得y 2-4p y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4p,y 1y 2=-4,∵k OM =p 2-1=-y 2=4p 1,k OA =p 1p 1=4p 1,∴A ,O ,M 三点共线,∴S △OBM ∶S △OAB =|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,p 12+p 12=4(1+p 22),p 12+4x 1=4(1+16p 12),p 12+4x 1=4(1+164p 1),则(p 12-4)(1+4p 1)=0,∵x 1>0,∴x 1=2,∴A (2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0), ∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.指点迷津(二) 求曲线轨迹方程的方法对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,得√(p -26)2+(p -1)2=5√(p -2)2+(p -1)2,化简得x 2+y 2-2x-2y-23=0,所以点M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆. (2)当直线l 的斜率不存在时,l :x=-2,此时所截得的线段的长度为2×√52-32=8, 所以l :x=-2符合题意.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y-3=k (x+2),即kx-y+2k+3=0, 圆心(1,1)到l 的距离d=|3p +2|√p 2+1.由题意,得(|3p +2|√p 2+1)2+42=52,解得k=512,所以直线l 的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l 的方程为x=-2或5x-12y+46=0.对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故点P 轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=√5.又点P 不在x 轴上,因此所求轨迹方程为p 29+p 25=1(y ≠0).(2)设圆P 的半径为r ,则|PA|=r+1,|PB|=r ,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P 的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=√152,因此所求轨迹方程为4x 2-415y 2=1(p ≥12).(3)依题意,知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y 2=-8x.对点训练3解(1)设点P (x 1,y 1),N (x ,y ),则M 的坐标为(x 1,0),且x=x 1, 所以pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 1,y-y 1)=(0,y-y 1), pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x ,-y )=(0,-y ), 由pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λpp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得(0,y-y 1)=λ(0,-y ). 所以y-y 1=-λy ,即y 1=(1+λ)y.因为点P (x 1,y 1)在椭圆p 24+y 2=1上,所以p 124+p 12=1,所以p 24+(1+λ)2y 2=1,故p 24+(1+λ)2y 2=1为所求的N 点的轨迹方程.(2)要使点N 的轨迹为圆,则(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故当λ=-12或λ=-32时,N 点的轨迹是圆.对点训练4y=2x-2 设点C (x ,y ),则pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t ,2t ),所以{p =p +1,p =2p ,消去参数t 得点C 的轨迹方程为y=2x-2.对点训练5解(1)连接OQ ,直线PQ 与圆O 相切于点Q ,则OQ ⊥PQ.又|OQ|=|PQ|=2,则|OP|=2√2.又点Q 在第一象限,得P (2√2,0),Q (√2,√2).由M 为PQ 的中点,得M (3√22,√22),所以直线OM 的斜率为13.(2)设M (x ,y )(x ≠0),P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ). 由|OQ|=|PQ|=2,可得x P =2x Q . 由M 为PQ 的中点,得x=p p +p p2=3p p 2,所以x Q =2p 3,x P =43x ,则P (4p 3,0),Q (2p 3,2p ),把Q(2p3,2p)代入x2+y2=4,整理得p29+y2=1,所以点M的轨迹方程为p29+y2=1(x≠0).。