第十三章习 题 解 答13−1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。

试求：（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。

解： 由图a 可知MPa0MPa,6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa1.0)]15(2sin[26.12MPa 97.1)]15(2cos[26.1226.121515=-⨯+-=-=-⨯+-+--=--τσ （2）垂直于木纹方向的正应力MPa1.0)752sin(26.12MPa 527.1]752cos[26.1226.127575-=⨯+-=-=⨯+-+--=τσ 由图b 可知MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa08.1)]15(2cos[25.12cos MPa625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-⨯⨯-==-=-⨯=-=--αττατσx x（2）垂直于木纹方向的正应力MPa08.1)752cos(25.12cos MPa625.0)752sin(25.12sin 7575=⨯⨯-===⨯⨯=-=αττατσx x13−2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,0MPa 3-===x y x τσσ则由公式可直接得到该斜截面上的应力MPa 习题13−1图(a)(b)MPa10)42cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa40)42sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯-⨯⨯-=+-==⨯⨯+⨯⨯-++=--++=ππατασστππατασσσσσααx y x x yx yx（b ）已知 MPa20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ则：MPa21.21)5.222cos(20)5.222sin(210302cos 2sin 2MPa93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯+⨯⨯-=+-==⨯⨯-⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx y x x yx y x （c ）已知60MPa15MPa,20,MPa 10-====ατσσx y x则：60(2cos[15)]60(2sin[220102cos 2sin 2MPa49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-⨯⨯+-⨯⨯-=+-==-⨯⨯--⨯⨯-++=--++=ατασστατασσσσσααx yx x yx yx13− 3 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。

13−4 已知应力状态如习题13−2图所示（应力单位为MPa ），计算图示应力状态中的主应力及方位。

习题13−2图(c)(b)(a(d)习题13−3图(a(b)解：（a）已知 MPa20MPa,10,0MPa 3-===x y x τσσ则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：因为，主应力对应的方位角为。

13−5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。

图中应力的单位为MPa 。

解：（a ）已知MPa 20MPa,20,0MPa 4===x y x τσσ则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：因为，主应力对应的方位角为。

（b ）已知 MPa 40MPa,20,0MPa 4-=-==x y x τσσ(a) 202040 习题13−5图204040 302020 (b) (c)则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：因为，主应力对应的方位角为。

（c ）已知 MPa 20MPa,03,20MPa ==-=x y x τσσ则由公式可直接得到该单元体的主应力主应力为：因为，主应力对应的方位角为。

13−6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试画三向应力圆，求最大切应力。

解：图a 为单向应力状态，图b 为纯剪切应力状态，图c 为平面应力状态，其应力圆如图。

最大切应力分别为：(a) 习题13−6图τ(b) (c)στσ13−7已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa）。

解：图a 为三向主应力状态，，应力圆如图（a）。

图b一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。

于是有其应力圆如图（b）。

13−8图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN 作用，试求固定端截面上A、B 、C 三点最大切应力值及作用面的方位。

解：固定端截面的弯矩,剪力。

截面a点的应力：,其应力状态为单向应力状态，即, 最大切应力作用面的方位习题13−7图40(a)50607020(b40习题13−8图2mA16080BCFA图a图b图cτOσσστOσσσστO图a7060στ50图b40τO20-40为。

截面b点的应力：,其应力状态为平面应力状态，即主应力：。

求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即截面c点的应力：,其应力状态为纯剪切应力状态，则, 最大切应力作用面的方位为13−9 空心圆杆受力如图所示。

已知F=20kN，D=120mm，d= 80mm，在圆轴表面A点处测得与轴线成30°方向的线应变ε30°= ×10－5，弹性模量E=210GPa, 试求泊松比ν。

解：1、A点对应的横截面上只有正应力，即2、取A点的单元体3、由斜截面应力计算公式有3、根据广义胡克定律有Aσ习题13−9图30AF则13−10 在其本身平面内承受荷载的铝平扳，巳知在板平面内的主应变为ε1 = ×10-4，ε3 = ×10-4其方向如图13−10 所示。

铝的E ＝70 GPa ，ν＝，试求应力分量σx 、σy 及τx 。

解：由题意可知该应力状态为平面应力状态，根据广义胡克定律有代入得利用斜截面应力公式及 得13−11 已知各向同性材料的一主应力单元体的σ1 = 30MPa ，σ2 = 15MPa ，σ3 =-5MPa ，材料的弹性模量E = 200GPa ，泊松比250.ν=。

试求该点得主应变。

解：直接应用广义胡克定律即可求出。

5-35-24-31108.125- 104.375 101.375）（（1⨯=⨯=⨯=+=εεε；；）σσ-νσE2113−12 图示矩形板，承受正应力σx 与σy 作用，试求板厚的改变量Δδ与板件的体积改变ΔV 。

已知板件厚度δ=10mm ，宽度b = 800mm ，高度h = 600mm ，正应力σx = 80MPa ，σy = -40MPa ，材料为铝，弹性模量E ＝70GPa ，泊松比ν ＝ 。

解：由广义胡克定律即可求出43y 10886.1)4080(33.010701-)]([1-⨯=-⨯⨯=+=σσ-νσE x z z ε则 mm z 3410886.11010886.1--⨯=⨯⨯==∆δεδ体应变4310943.1)4080(107033.021)(2-1-⨯=-⨯⨯-=+=y x E σσνθ 板件的体积改变量3457.9321060080010943.1mm V V =⨯⨯⨯⨯==∆-θ习题13−12图hbσxσy60x zy 13习题13−10图13−13 如图所示，边长为20cm 均质材料的立方体，放入刚性凹座内。

顶部受轴向力F = 400kN 作用。

已知材料的E = ×104MPa ，ν = 。

试求下列两种情况下立方体中产生的应力。

（1）凹座的宽度正好是20cm ； （2）凹座的宽度均为20.001cm 。

解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即0==y x εε为变形条件，由广义胡克定律得)]([10)]([1x y =+==+=σσ-νσEσσ-νσEz y y z x x εε上式解出 z y x σννσσ-==1。

式中 MPa A Fz 100.20.2104003=⨯⨯==σ。

代入数据，得 MPa y x 195.2100.1810.18=⨯-==σσ（2）根据题意立方体两水平方向的变形为0.001cm ，应变5-105.0200.001⨯===y x εε，由广义胡克定律得 5-x 5-y 105.0)]([1105.0)]([1⨯=+=⨯=+=σσ-νσEσσ-νσEz y y z x x εε式中 MPa A Fz 100.20.2104003=⨯⨯==σ。

上式解出 E z y x σννσσ-⨯⨯==-1100.55。

代入数据，得MPa y x 854.2106.2100.1810.18100.545=⨯⨯⨯-⨯⨯==-σσ13−14 已知如图所示受力圆轴的直径d =20mm ，若测得圆轴表面A 点处与轴线45°方向的线应变ε45°= ×10-4，材料的弹性模量E = 200GPa ，泊松比ν = 。

试求外力偶矩M e 。

解：A 点应力状态为纯剪切状态，故45°方向为主应力方向，且有 -0 321τσστσ===，，。

由 习题13−1320cm 20.001cm43111020.5)1(1)(1-⨯=+=-=τννσσεEE 得MPa 80=τ。

对于扭转是A 点的切应力PeM W =τ，则m kN D M e ⋅=⨯⨯==6.125161080W 36P πτ13−15 一直径为25mm 的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa 。

设钢球的E=210GPa ，ν=。

试问其体积减少多少解：根据题意有MPa -14321===σσσ体应变53321100.-8143100213.021-)(2-1-⨯=⨯⨯⨯⨯-=++=σσσνθE 体积改变量3350.654176100.8V mm d V =⨯⨯==∆-πθ13−16 试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设ν =。

解：(a) 由题图可知MPa MPa MPa 30,10,20321-===σσσ则MPa MPa MPa MPa 83.45])()()[(21;503020;26)3010(3.020)(;20213232221r431r3321r21r1=-+-+-==+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ(b)已知MPa01τ0MPa,2σ,30MPa σx y x =-==习题13−16(a)(b(cMPaMPa MPa 93.21,0,93.31321-===σσσ则MPa MPa MPa MPa 91.46])()()[(21;86.5393.2193.31;51.38)93.210(3.093.31)(;93.31213232221r431r3321r21r1=-+-+-==+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ （c ）由题图可知MPa MPa MPa x 20,0,51xy y z -====τσσσ则MPa MPa MPa 20,51,20321-===σσσMPa MPa MPa MPa 75.37])()()[(21;402020;5.21)2015(3.020)(;20213232221r431r3321r21r1=-+-+-==+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ则由公式可直接得到该单元体的主应力13−17 有一铸铁制成的零件。