1-7两个重要极限练习题教学过程:弓I 入：考察极限si nxlim ---- x 0x当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0( x)综上所述，得sin X 一.lim 1 . x 0Xlim 沁1的特点： x 0X(1) 它是“0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是(2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或),x asin x出arcsinx求 lim ------ .x 0x令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x问题1:观察当x0时函数的变化趋势:当x 取正值趋近于0时，sin2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0x 推广lim x a sin X x=limx 0sin X =1 xlim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0x COSXlim sinxx 0 lim --- x 0cosx1 1 1.求lim 沁.x 0 xsin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0击，-1 cosx 求 lim -- 2—x 0 x 23x(令3x t) 3ltim Sint 1 cosx _X1叫二叫2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2x 0 x c 2(-)2 x im.x sin — 2 .xsin —2 x 2limorcs^n^wm 丄 1. X 0 X t 0si nt缶 tanx sinx 求limX 0例6 求 lim(1 2)X.XX所以limtanX sinXX 0X 3sinx Sinx = lim — X 0 X 31 COSX sinx ------ lim ----- 3C0SX_ 0 X 3 考察极限=lim S i nX lim —— X 0 X X 0 COSX lim 1 C 0sx丄 x 0 X 22 1 X-）e当X 取正值并无限增大时，（1丄）X是逐渐增大的，但是不论 X 如何大，（1丄）X的值XX总不会超过3•实际上如果继续增大 X.即当X +时，可以验证（1丄）X是趋近于一个确定X的无理数e=.当X -时，函数（1 — ）x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.X综上所述，得 一 1 x二. lim （1 -）x=e .xX丄）x=e 的特lim(1lim （1+无穷小）无穷大案(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若lim （X ）= ,（a 可以是有限数X 0, 或 ），则lim 1(X)()=e;(2)若lim X a（x ）=O,（a 可以是有限数 X 0, ），则limX a1 X 帀 limX 0（X ）=e. 变形令1=t,X如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果定型.时to ，代入后得到li m1，因此通常称之为1不问题2:观察当x +时函数的变化趋势:2 2 令一_=t ，贝y x=——xt两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

见首页 § 2-1导数的概念教学过程： 引入： 一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=o 到时刻t 这一时间段内下落的路程 s 由公式s = — gt 2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当t 很小时，从1秒到1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似.于是当x 时t 0, 2t)壬lim(1 x -)x= lim(1 x t 0例7 求 lim (3x2 x )x-x解令 3 x=1 + u ，则 x=2 — 1•2 xu当x 时u 0,于是lim (3x 2:心叩 21u) u=[lim(1u 01u 円例8 求 lim(1 tanx)cotx•解设 t=tanx.1贝 U — = cotx. t当x 0 时 t 0,于是lim(1 x 0tan x)cotx= lim(1 t)1t)q 2=e -1u) u (1 u)2] u)2]=e -1・小结: 作业:[呵u 叫［仆11t[lim(1上表看出，平均速度仝随着t 变化而变化，当 t 越小时，仝越接近于一个定值一 t9.8m/s .考察下列各式： 1 s=-g 2 (1+思考: 当t 越来越接近于 t)2- I g 12=1g[2 t+( t)2], 2 t ( t)2 t 0时，仝越来越接近于1秒时的 速度”现在取t 0的极限, t1 = 1g(2+ t)， 2 t g=9.8(m/s). lim —lim -g 2 0 t 02 t =1秒时速度为瞬时速度. 一般地，设质点的位移规律是 s=f (t)，在时刻t 时时间有改变量t, s 相应的改变量为 s=f(t+ t)-f(t)，在时间段t 到t+ t 内的平均速度为 -s f t t f t v = 一 -------------- , t t 对平均速度取10的极限，得 .. s .. f t t f t v(t)= li t m ^T li t m 0 -------------------------------------- 1 --- ， 称v(t)为时刻t 的瞬时速。

研究类似的例子 实例2曲线的切线 设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A 的坐标为(X 0,f(X 0)).在曲线上点A 附近另取一点 B,它的坐标是(X 0+ X, f(X 0+ X)).直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 .由图中的 Rt ACB ，可知割线 AB 的斜率 t an - CB y f x 。

X fx 。

. AC X X在数量上，它表示当自变量从 X 变到X+ X 时函数f(x) 关于变量X 的平均变化率(增长率或减小率). 现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时X 0, 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置一一 直线AT ,我们就称L 在点A 处存在切线AT .记AT 的倾斜角为 的斜率为为质点在 f(X 0+ x) ，则为的极限，若 90，得切线AT f(x o ) :A ■ X 0 ：C IX 0+ X y -lim tan - lim — X 0 X 0 X 在数量上，它表示函数 f(x)在X 处的变化率. 上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y-f(x)和自变量 要求函数y 关于自变量X 在某一点X 处的变化率. tan lim f(X 0 X)f(X 0) x 0X X 具体内容不同, 但本质都是1.自变量X 作微小变化X ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 y - 」，作为点 X X 处变化率的近似;2.对y 求X 0的极限lim —匕，若它存在，这个极限即为点 X 处变化率的的精确值.X 0 X二、导数的定义 1.函数在一点处可导的概念 定义 设函数y=f(x)在X o 的某个邻域内有定义.对应于自变量 X 在X o 处有改变量X, 函数y=f(x)相应的改变量为 y=f(x o + x)-f(x o ),若这两个改变量的比当X o 时存在极限，我们就称函数 y=f(x)在点X 0处可导, 点X 0处的导数(或变化率)，记作y |X x o 或 f并把这一极限称为函数 y =f(X)在 (x o )或空 XX 0 或 X X oy |XX o =f (Xo)=啊三 dx f(X o X) f (X o ) lim -- x 0X dx X 0 •即 (2-1) 比值一^表示函数y=f(x)在X o 到x o + X 之间的平均变化率，导数 X在点x o 处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点x o 处的变化的快慢. 如果当X o 时丄的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点X o 处不可导或导数不存在.X在定义中，若设 X=x o + X ，则(2-1)可写成y IX X o 则表示了函数 …、 f X f X of (x o)= lim --------x xo X X o(2-2)根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点X o 处的导数的步骤如下: 第一步 求函数的改变量 y=f(x o + x)-f(x o )； 第二步求比值丄竺一X)心0)；XX第三步 求极限f (x o )= lim —•x 0X例1 求y=f(x)=X 2在点X=2处的导数. 解y=f(2+ x)-f(2)=(2+ X )2-22=4 X +( X )2； A 2 y 4 X X ,— ------------- =4+ X; X X |X =2=4 • lim --------x ——匚^丄存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的左导数，记作x 0X f (x 0)；当lim ——x ——存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点X o 处的右导数， X 0 X l X m ^f=l X m o (4+x)=4 • 所以y 记作f(X 0)• 据极限与左、右极限之间的关系 f(X 0)存在 f(X 0),f (X o )，且 f (X 0)= f (X o ) = f (X 0)• 2.导函数的概念 如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值X o 都有对应着一个确定的导数 f (x o ),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数，记作等f(X)或y等.根据导数定义，就可得出导函数,.. .. f X X f Xf (x)=y = lim 丄- lim -X 0 X X 0 导函数也简称为导数.注意(1) f (x)是X的函数，(2)f(x)在点处的导数例2求y=C (C为常数)的导数.因为 y=C-C=0, —y =0，所以 y = lim —=0 .X X x 0 X(C) =0常数的导数恒等于零).3求 y=x n(n N, x R)的导数.因为 y=(x+ x)n-x n=nX n'1 x+ C n2x n■2( x)2+...+( x)n,y= nx n-1 + C2x n-2 x+...+( x)n-1,X (2-3)而f(X0)是一个数值f(X0)就是导函数f(X)在点X0处的函数值.从而有y = lim —= lim [ X 0X X 0(X n ) =n X n-1.可以证明，一般的幕函数 (X ) = X -1.例如(J x ) =(x- ) =lx2nx n-1 +C 2x n-2 x+...+( x)n-1]= nx n-1y=x , ( R, x>0)的导数为1；(丄)=(X -1) =-X '2 =X例4 求y=sinx, (x R)的导数.解 y =sin(x X) sinx X X在§ 1-7中已经求得ylim 」-=cosx ,x 0x即(sinx) =cosx.用类似的方法可以求得 y=cosx, (x R)的导数为(cosx) =-s inx.例 5 求 y=log a x 的导数(a >0, a 1, x>0). 解 对a=e 、y=lnx 的情况，(lnx)=-.x在§ 1-7中已经求得为对一般的a ，只要先用换底公式得y=l0g a X = M ，以下与§ 1-7完全相同推导，可得In a(log a x) =—1—.x l n a三、导数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点 A(x o ,f(x o ))处存在非垂直切线 AT 的充分必要条件是 f(x)在X 0存在导数f (x 0)，且AT 的斜率k=f (X 0).导数的几何意义 --- 函数y = f(x)在X 0处的导数f(X 0)，是函数图象在点(X 0,f(X 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为故所求的切线方程为y+ln2=2(x-丄)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点x o 处可导，则存在极限y=f (x o ),则一(x o )+ ( lim =0)，或 y = f (x o ) x+ x ( lim =0),x xx 0 x 0所以 lim y= lim [f (x o ) x+ x]=0.X 0这表明函数y=f(x)在点x o 处连续.但y=f(x)在点x o 处连续，在x o 处不一定是可导的. 例如：(1) y=|x|在x=0处都连续但却不可导.§4-2换元积分法y-f (x o )=f (x 0)(x-x o )(2-4)过切点A (x o ,f(x o ))且垂直于切线的直线，称为曲线 y=f(x)在点A (x o ,f(x o ))处的法线，则当切线非水平(即f (x o ) 0)时的法线方程为1y-f (x o )=- (x-x o )f (X o )例6求曲线y=s inx 在点(_,丄)处的切线和法线方程.6 2=73— --21 J 3 y ―- =—(X--),2 2 6 y12A /5( \y -- = - — (x -—).236例7求曲线y=Inx 平行于直线y=2x 的切线方程.解 设切点为A(x o , y o ),则曲线在点A 处的切线的斜率为 y (x o ),1解(sinx)x飞=C0Sx所求的切线和法线方程为法线方程y (x 0)=(ln x)(2-5)Xxo‘X o因为切线平行于直线 y =2x,,所以 丄=2,即x o = 1；又切点位于曲线上，因而y o =ln 」=-In2 .X o 2 2l X m直的.(2) y = V x 在x=0处都连续但却不可导注意在y 点,|X(0,0)处还存在切线，只是切线是垂学生思考:2设函数f(x)= x‘x 1, x 0，讨论函数x 0■:X(X)在 x=0处的连续性和可导性.小结：明确导数就是函数相对 作业：见首页OJi~的变1化率。