x
1 x lim (1 ) ? x x
1000 10000 100000 …
2.717 2.718
-1000 -10000
2.71827
-100000 …
X
x
-10
-100
1 2.868 2.732 (1 ) x
2.720 2.7183
2.71828
1 x lim (1 ) e x x
sin t 所以 , 原式 5lim 5 1 5 t 0 t
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin 5 x sin 5 x lim 5lim 5 1 5 x 0 x 0 5x x
推广： 设 为某过程中的无穷小量 ,
某过程
lim
sin

1
练习1. 求下列极限:
x 0 u0
u0
2 x

2 u
1 u 2
lim[(1 u) ]
[lim(1 u) ]
u0 1 u 2
e 2
方法二 掌握熟练后可不设新变量
lim 1 x lim[(1 x ) ]2
x 0 x 0 1 x 2 2 x
1 x
[lim(1 x )
O x B
C D A
sin x lim 1. ＋ x 0 x
tan x 例 1 求 lim x0 x tan x sin x 1 解 lim lim( ) x 0 x 0 cos x x x sin x 1 lim( ) x 0 x cos x sin x 1 lim lim x 0 x 0 cos x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
sin x 故 lim 0 x x
sin x lim 1 x 0 x
练习3：下列等式正确的是（
B
）
sin x A. lim 1; x x
1 C. lim x sin 1; x 0 x
1 B. lim x sin 1; x x 1 sin x 1 ． D. lim x x
sin 3x （） 1 lim x 0 x
sin 3x 3sin 3x sin 3 x 解：lim lim 3lim 3 1 3 x 0 x 0 x 0 x 3x 3x
sin 5 x （2） lim x 0 3x
sin 5 x sin 5 x 5 5 5 解：lim lim( )( ) 1 x 0 x 0 3x 5x 3 3 3
(2) lim[ f (x ) g (x )] limf (x ) limg (x )
f (x ) limf (x ) . (3) 若 limg(x ) 0，lim g (x ) limg (x )
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x )
(5) lim[ f ( x )]k [lim f ( x )]k
x A. lim 1 x 0 x
1 C. lim x sin 1 x 0 x
x B. lim 1 x 0 x
sin x D. lim 1 x x
x 1 当（ 练习6. 已知 f ( x ) tan x
A ）时，
f ( x) 为无穷小量.
A. x 0
C. x
B. x 1
D. x
sin x ，当 练习7. 已知 f ( x) 1 x f ( x) 为无穷小量．
练习8. 练习9.
x 0
时，
x sin x 1 lim ______ x x
x sin x lim ______ 0 x 0 x
第二个重要极限
X 10 100 1 (1 ) 2.594 2.705 x
x 0
]
e
2
例3
解
x 1 3x lim( ) x x x 1 3x 1 3x lim( ) lim(1 ) x x x x
1 x lim （ 1 ) x x
3
e

练习1. 计算 l i m (1 2 x ) .
x 0
1 x lim (1 ) e x x
1 令t , x
(1 )
1 1 x t)t e lim(1 ) lim(1 t 0 x x
lim(1 t ) e
t 0
1 t
(1 )
1
推广 为某过程中的无穷小量 , lim (1 ) e
1 x2 1
x 2 1 1 l i m 1 e 2 . x x
例2
1 x . 计算 lim
x 0
2 x
解
方法一 所以
令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，
1 x l i m(1 u) lim
x 2
因为
x 2 1 2
x x 1 1 1 1 1 ， 且 lim 1 e ， x x x x
所以，有
lim 1 x x
x 1 2
lim 1 x x 1
1 lim 1 x _________ x
x 2
2 e
1 1 x 7、 lim(1 ) _________ . e x x
思考题
2 x 计算 lim x 3 x
解 因为
x2
2 x 3 x ( 1) 1 1 . 3 x 3 x x3
练习4：下列等式不正确的是（ D ） sin x x 1; B lim 1; A lim x 0 x 0 x sinx 1 1 x sin 1; D lim x sin 1 C lim x x 0 x x

练习5. 下列极限计算正确的是（ B ）
sin x 极限 lim x 0 x
1 x 极限 lim (1 ) x x
预备知识
1.有关三角函数的知识
sin x tan x cos x
sin 0 0
cos0=1
| sin x | 1
| cos x | 1
2.有关对数函数的知识
ln x log e x
以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简 记为 y = ln x. 数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
sin( x 1) 1 1 1 lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 11 2
例4 解
1 求 lim x sin x x
1 sin 1 x 1 lim x sin lim x x x 1 x
思考题
sin x 1 lim lim sin x x x x x
2 lim (1 ) e .
0 某过程
1
练 习 题
sin x sin x 1、 lim lim x 0 x x 0 x
sin 2 x sin 2 x sin 2 x 3x 2 lim 2、 lim lim x 0 sin 3 x x 0 2 x sin 3 x 3 x 0 sin 3 x
x u 5
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明
sin x 例 证明 lim 1. x 0 x 证 AOB 面积 < 扇形AOB 面积 < AOC 面积, 即
R2 R2 R2 sin x x tan x , 2 2 2
R2 各式同除以正值 sin x , 得 2 x 1 1 , sin x cos x
sin x 即 cos x 1. x
B C R x
sin x 使用 lim 1 时须注意 : x 0 x
(1)类型：
(2)推广形式:
0 型 0
某过程
lim
sin

1
）
（
某过程
lim 0
x (3)等价形式： lim 1 x 0 sin x
sin( x 1) 例 3 求 lim 2 x 1 x 1
sin( x 1) sin( x 1) sin( x 1) 1 lim lim[ ] 解 lim 2 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1
1 x
解
lim (1 2 x ) l i m (1 2 x )
x 0 x 0
1 x
1 2 2x
e .
2
x x ) . 练习2. 求 lim ( x 1 x
x x 1 解 lim ( ) lim 1 x x 1 x x (1 ) x 1 1 x lim (1 ) x x
0.99998
0.9999998
sin x lim 1 x 0 x
证明
sin x lim 1. ＋ x 0 x
证
即 sin x x tan x
各式同除以sin x (因为sin x 0), 得 x 1 1 , sin x cos x
sin x 即 cos x 1. x
某过程
1 x 使用 lim(1 ) e x x
(1)类型:
须注意 :
1
1 型
某过程

(2)推广形式: lim (1 ) e
（
某过程
lim 0
1 t
）
(3)等价形式：lim(1 t ) e
t 0
例1 解
1 计算 l i m 1 . x x