∴∠AMB＝ 180°－ ∠CAO－∠OAB－ MBA＝ 180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD) ＝
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180°－90°＝90°.
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(3)2 3或 3 3.
提示：①点 C 与点M 重合时，如图，
同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ABCD＝ 3. 设 BD＝x，则 AC＝ 3x. 在 Rt△COD 中， ∵∠OCD＝30°，OD＝1， ∴CD＝2，∴BC＝x－2. 在 Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB＝ 7. ∴AB＝2OB＝2 7. 在 Rt△AMB 中，由勾股定理得 AC2＋BC2＝AB2， 即( 3x)2＋(x－2)2＝(2 7)2， 解得 x1＝3，x2＝－2(舍去)， ∴AC＝3 3. ②点 C 与点M 重合时，如图，同理得∠AMB＝90°， ABCD＝ 3.
∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B 四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC.
2 设 AD＝a，则 DC＝AD＝a，PD＝ 2 a，
AD a
∴CP＝ a＋
＝2－ 22a
【分析】(1)延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O.证明△CAP≌△BAD，
即可解决问题．
(2)设 BD 交 AC 于点O，BD 交 PC 于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
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(3)分两种情况：当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于H.证明AD＝ DC 即可解决问题；当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DA＝DC，解决问题． 【自主解答】
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；
(2)拓展探究
AE 试判断：当 0°≤α<360°时，BD的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明．
(3)解决问题
当△EDC 旋转至A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．
类型二 动点引起的探究
(2016·河南)(1)发现
如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b.
参考答案
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(2)BCDP的值为 2，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45°.理由如下： 如图，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E.
∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB. ∵AABC＝AADP＝ 2， ∴△DAB∽△PAC，
BD AB ∴∠PCA＝∠DBA，PC＝AC＝ 2. ∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°， ∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45°. (3)ACDP的值为 2＋ 2或 2－ 2. 如图，当点D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于H.
(1)观察猜想
图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是
，位置关系是
；
(2)探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断△PMN 的
3
形状，并说明理由；
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(3)拓展延伸 把△ADE 绕 A 在平面内自由旋转，若 AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN 面积的
最大值．
图 1 图2
3．(2015·河南)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点 D，E 分 别是边 BC，AC 的中点，连接 DE.将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角 为 α.
(1)问题发现
①当 α＝0°时，ABED＝BC，BD，CE 之间的数量关系为
；
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(2) 问题解决 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以 AC 为直角边向外作等 腰 Rt△DAC，连接 BD，求 BD 的长； (3) 拓展延伸 如图 3，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请 直接写出BD 的长．
，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较
小角的度数是
．
(2)类比探究 如图 2，当 α＝90°时，请写出BCDP的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角
的度数，并就图 2 的情形说明理由．
(3)解决问题
当 α＝90°时，若点E，F 分别是CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写 出点 C，P，D 在同一直线上时ACDP的值．
提示：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB.
∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)， AC
∴AC＝BD，∴BD＝1.
②40°
提示：∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO.
∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°.
在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB
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专题七 类比探究题 专题类型突破
类型一 图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α.点 P 是平面内不与点 A，C
重合的任意一点．连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α 得到线段 DP，连接
AD，BD，CP.
(1)观察猜想
BD 如图 1，当 α＝60°时，CP的值是
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5．(2014·河南)(1)问题发现
如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接BE.
填空：
①∠AEB 的度数为
；
②线段 AD，BE 之间的数量关系为
；
(2)拓展探究
如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A，D，
＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)ABCD＝ 3，∠AMB＝90°.理由如下：
在 Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，
OD
3
∴OC＝tan 30°＝ 3 .
同理得OOBA＝tan 30°＝ 33.
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD， ∴ABCD＝OOCD＝ 3，∠CAO＝∠DBO，
【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得 到结论； (2)①根据等边三角形的性质得到 AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出 △CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到 CD＝BE； ②由于线段 BE 的最大值＝线段 CD 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果． (3)将△APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△PBN，连接 AN，得到△APN 是等腰 直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当 N 在线段
2.
如图，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DA＝DC.设 AD＝a，则 CD＝AD＝a，PD 2
＝ 2 a，
2 ∴PC＝a－ 2 a，
∴APDC＝ a a－
＝2 22a
＋
2.
综上所述，点 C，P，D 在同一直线上时，ACDP的值为 2－ 2或 2＋ 2.
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跟踪训练
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1．解：(1)①1
【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE； (2) 过 D 作 DE⊥AB，交 BA 的延长线于 E，同理证明△ABC≌△DEA，可得 DE＝AB ＝2，AE＝BC＝4，最后利用勾股定理求 BD 的长； (3)同理证明三角形全等，设 AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程 组可得结论． 【自主解答】
E 在同一直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断∠AEB 的度数及
线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题 如图 3，在正方形ABCD 中，CD＝ 2，若点 P 满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直 接写出点A 到 BP 的距离．
类型一 【例 1】(1)1 60°
重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接 CD.
填空：①PCBD＝
；
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②∠ACD 的度数为
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；
(2)拓展探究 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AABC＝k.点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B
重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接 CD，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以 及 PB 与 CD 之间的数量关系，并说明理由；
填空：当点 A 位于
时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为
(用
含 a，b 的式子表示)；
(2)应用
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点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝3，AB＝1，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边， 作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE. ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值； (3)拓展 如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
(3)解决问题
如图 3，在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝4 2，BC＝ 12，P 是边BC 上一动点(不与
点 B 重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接 CD.若 PA＝5，请直接写出所有
CD 的长．
类型三 图形形状变化引起的探究
(2019·信阳一模)(1)观察猜想