2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD，EC所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．图1 图2【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD=6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，ADEB= ；②当α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD时，BE= ，此时α= ．图1 图2【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，直接写出线段BE 的长．图1 图2 备用图强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣α的度数．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AEFC的值．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 2 图35.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB 的长．图1 图2 备用图7.（2019·名校模考）问题发现：图1ABC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC 的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图38.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图39.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ； （2）若2AB EF BC BF ==，求ANDN的值.10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2参考答案2020年中考数学三轮易错复习：专题13 类比、探究类综合题【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AC ，CE =AE ，BD =AD =2，∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB==, ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； ②如下图所示，S =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是ADAC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现 ①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD 时，BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（3）260或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152，∴ADEB=43；（2）不变化，理由如下：由题意知：△DCE∽△ACB，∴CD CE AC BC=，由旋转性质得：∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴AD AC BE BC=,即8463 ADBE==.（3）由(2)知43 ADBE=，∵AD，∴BE=2如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（）2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD，60°或300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB =CEBC ，∵∠CEF ＝∠ABC ＝90°，∴△CEF ∽△CBA ， ∴CFCEAC BC =，∠ECF ＝∠ACB ， ∴54CFACCE BC ==，∠ACF ＝∠BCE ，∴△ACF ∽△BCE ， ∴54AE CF BE CE ==，即AEBE 的大小无变化；（3）当△CEF 旋转至A ，E ，F 三点共线时，存在两种情况：①E 在A 、F 之间，如图，连接AC ，Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，同理得：CF ＝5，由（2）知：54AECFBE CE ==，Rt △AEC 中，由勾股定理得：AE ＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（；②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（；综上所述，BE ． 强化精炼1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1AB AC . 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 填空：①PB CD = ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=AB k AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠P AD =90°，∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°，∵∠APD =∠B ，∴∠APD =∠ADP =45°，∴AP =AD ，∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PB CD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°.（2）∠ACD =∠B ，PBCD =k ，理由如下：∵∠BAC =90°，∠P AD =90°，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=ABAPAC AD =k ，由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD =90°，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ，∴∠ACD =∠B ， ∴=PB ABCD AC =k .（3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ，∴AH =BH =4，∵BC =12，∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC ，在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB APAC AD ，由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD综上所述，CD ，2. 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC 中，BA =BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC =∠AMN ，AM =MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC 中，AD =AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC =10，CN ，试求EF 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又∠ABC=∠ACN，∴△ABC∽△AMN，∴AB AC AM AN=,∴∠BAC=12（180°－∠ABC），∵AM=MN，∴∠MAN=12（180°－∠AMN），由∠ABC=∠AMN，得∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，又AB AC AM AN=,∴△ABM∽△ACN，∴∠ABC=∠ACN，(3)连接AB，AN，∵四边形ADBC，AMEF为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAM=∠CAN，由AB AM BC AN =, ∴AB BC AC AM AN AN==, ∴△ABM ∽△ACN ， ∴BM AB CN AC=,= ∴BM =2，∴CM =BC －BM =10－2=8，在Rt △AMC 中，由勾股定理得：AM =∴EF =AM =3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF ．（1）说明线段BE 与AF 的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC 交AB 于点D ，如果AD =6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE ⊥AF ，AF ；理由如下：在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =2，∠A =30°，∴AC ，∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴BE ⊥AF ，BE =CE ，AF =CF ，∴AE ACBE BC=∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ，∴CE CF BC AC ==12， ∵∠BCE =∠ACF ， ∴△BEC ∽△AFC ，∴AE ACBE BC=CBE =∠CAF ， 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ， ∴∠BCO =∠AMO =90°， 即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°， ∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣）2， 过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB1，DHDB =3又∵CH =BC ﹣BH =21）=3∴CH =DH ， ∴∠HCD =45°， ∴∠DCA =45°， ∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AEFC的值． （3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC的值．图1 图2 图3 图1ABC D EF图2AB C D EF图3AB CDEF【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析； 【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ， ∴△DCE 是等边三角形， ∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°， ∴∠ADE =∠CDF ， ∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°， ∴∠ACF =60°； （2）∵DE ∥AB ， ∴∠EDC =∠ABC =90°， ∵∠ADF =90°， ∴∠ADC =∠CDF ， ∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ， ∴∠AED =∠FCD ， ∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DECF CD=, ∵DE ∥AB ， ∴△EDC ∽△ABC ，∴DE ABCD BC =,∴AE AB CF BC=(3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ． ∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF ∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下： 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC ， 即:AC CFBC CE=∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ． 即：∠FCA ＝∠ECB ． ∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BEBC AF=∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF ，∵BE AF ，∴AF 1； ②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BEAC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF ．当B ，E ，F 三点共线时，线段AF 1+1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）问题提出：如图1，若AD ＝AE ，AB ＝AC ． ①∠ABD 与∠ACE 的数量关系为 ； ②∠BPC 的度数为 ．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE ＝∠ABC ＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB ＝2，AD ＝1，若把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD＝∠ACE；∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP ＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E在线段AB上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE 易证：△ADB ≌△AEC ． ∴∠DBA ＝∠ECA ． ∵∠PEB ＝∠AEC ， ∴△PEB ∽△AEC ．∴PB BEAC CE =， ∴2PB =∴PB ②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PB BEAC CE=， ∴32PB CE=∴PB ，综上所述，PB 7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝k •AC （k ＞1），D 是AB 上一点，DE ∥BC ，则BD ，EC 的数量关系为 ．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3 【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC=＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF CF，BF=(2+ CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（CF2＝22，∴CF2＝2，∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC，且△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CHBC=2CHBE=CE=CD在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=12DC=12AB，∴AM=BM=EC；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB =, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN=3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。