即yx2C(3)
其中C是任意常数
把条件“x1时y2”代入(3)式得
212C
由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)
yx21
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
(5) 或 不是线性方程
齐次线性方程的解法
齐次线性方程 是变量可分离方程分离变量后得
两边积分得
或
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）
例1求方程 的通解
解这是齐次线性方程分离变量得
两边积分得
ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为
yC(x2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把
x|t0Ax|t00
的特解
解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得
C1A
再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得
C20
把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得
xAcoskt
作业：P298：4
1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得
yx2C
一般地方程yf(x)的通解为 (此处积分后不再加任意常数)
即lnMtlnC也即MCet
由初始条件得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为
§
线性方程
方程 叫做一阶线性微分方程
如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程
方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程
下列方程各是什么类型方程？
(1) 是齐次线性方程
(2) 3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程
(3)yycosxesinx是非齐次线性方程
(4) 不是线性方程
微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上
F[x(x)(x)(n)(x)]0
那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解
解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式
(4)
此外未知函数ss(t)还应满足下列条件
t0时s0 简记为s|t0=0s|t0=20(5)
把(4)式两端积分一次得
(6)
再积分一次得
s02t2C1tC2(7)
这里C1C2都是任意常数
把条件v|t020代入(6)得
令xyu则原方程化为
即
分离变量得
两端积分得
uln|u1|xln|C|
以uxy代入上式得
yln|xy1|ln|C|或xCeyy1
作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）
§75可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f(x)型的微分方程
解法积分n次
例1求微分方程ye2xcosx的通解
第二步两端积分 设积分后得G(y)F(x)C
第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)
G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
例1求微分方程 的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
两边积分得
即ln|y|x2C1
从而
因为 仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解
2求微分方程y2xy2的通解
因为y是未知的所以积分 无法进行方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为 两边积分得
或
可以验证函数 是原方程的通解
一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成
g(y)dyf(x)dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶
x3yx2y4xy3x2
y(4)4y10y12y5ysin2x
y(n)10
一般n阶微分方程
F(xyyy(n))0
y(n)f(xyyy(n1))
设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
化简得
于是非齐次线性方程的通解为
或
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
例2求方程 的通解
解这是一个非齐次线性方程
先求对应的齐次线性方程 的通解
分离变量得
两边积分得
lny2ln (x1)lnC
齐次线性方程的通解为
yC(x1)2
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、
2、
3、
4、
教学难点：
1、
2、
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)
(1)
此外未知函数yy(x)还应满足下列条件
x1时y2简记为y|x12(2)
把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)
的函数即 则称这方程为齐次方程
下列方程哪些是齐次方程？
(1) 是齐次方程
(2) 不是齐次方程
(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程
(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程
(5) 是齐次方程
齐次方程的解法
在齐次方程 中令 即yux有
分离变量得
两端积分得
求出积分后再用 代替u便得所给齐次方程的通解
令zy1n得线性方程
例4求方程 的通解
解以y2除方程的两端得
即
令zy1则上述方程成为
这是一个线性方程它的通解为
以y1代z得所求方程的通解为
经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程
例5解方程
解若把所给方程变形为
即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程
解对所给方程接连积分三次得
例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程 的解
解求所给函数的导数
将 及x的表达式代入所给方程得
k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0
这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程 因此所给函数是所给方程的解
例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解求满足初始条件
初始条件为
v|t00
方程分离变量得
两边积分得
即 ( )
将初始条件v|t00代入通解得
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
例4求微分方程 的通解
解方程可化为
分离变量得
两边积分得
即
于是原方程的通解为
作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3
齐次方程
如果一阶微分方程 中的函数f(x,y)可写成
初始条件为
i|t00
方程 为非齐次线性方程其中
由通解公式得
其中C为任意常数
将初始条件i|t00代入通解得
因此所求函数i(t)为
伯努利方程方程
(n01)
叫做伯努利方程
下列方程是什么类型方程？
(1) 是伯努利方程
(2) 是伯努利方程
(3) 是伯努利方程
(4) 是线性方程不是伯努利方程
伯努利方程的解法以yn除方程的两边得
解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x,y)则鸭子运动速度
故有
另一方面
因此 即
问题归结为解齐次方程
令 即xyu得
分离变量得
两边积分得
将 代入上式并整理得
以x|yh0代入上式得 故鸭子游过的轨迹方程为
0yh
将 代入 后的整理过程
作业：P309：1（1）（3）（5），2
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
xx0时yy0yy0
一般写成
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解
初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yf(xy)满足初始条件 的解的问题记为
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
§
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程