高三数学期中考试试卷理科高三数学期中考试试卷（理科）一. 选择题:（每小题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中）1．满足条件{}{}3,2,12,1= M 的集合M 的个数是（ ）)(A 1 )(B 2 )(C 3)(D 42．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 6)(D 73．函数bx x f a+=log)(是偶函数，且在区间()∞+,0上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为（ ）)(A )1()2(+=-a f b f )(B )1()2(+>-a f b f)(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．已知数列{}na 是等差数列，数列{}nb 是等比数列，其公比1≠q ，且0>ib （ ,3,2,1=i ），若11b a =，1111b a=,则（ ）)(A 66b a = )(B 66b a> )(C 66b a< )(D 66b a>或66b a <5．数列{}na 、{}nb 满足1=⋅n nb a，232++=n n an，则{}nb 的前10项之和等于（ ） )(A 31 )(B 125 )(C 21 )(D 12716．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x x x f cos sin cos cos sin sin )(，下列结论正确的是（ ）)(A 函数)(x f 的值域是［－1，1］ )(B 当且仅当22ππ+=k x 时，)(x f 取最大值1 )(C 函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数 )(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k （Z k ∈）时，0)(<x f 7．若向量()ααsin ,cos =，()ββsin ,cos =则与满足（ ） )(A 与b 的夹角等于βα- )(B ()()-⊥+ )(C // )(D ⊥8．已知函数)(x f 的导函数为xx fcos 5)('+=，()1,1-∈x ，且)0(=f ，如果0)1()1(2<-+-xf x f ，则实数x 的取值范围为（ ）)(A （10，） )(B ()2,1 )(C )2,2(--)(D )2,1(）－，（－12二．填空题（每题5分，共30分，请将答案填在第二页表中）9．已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则下列命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素③M 中有P 的元素 ④存在Mx ∈，使得P x ∉其中真命题的序号是 （将你认为正确的命题的序号都填上）10．已知函数)(x f 是R 上的减函数，其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ，函数)(x f 的反函数是)(1x f-，则)1(1-f的值为 ，不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则=++c b a 12．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若1=a ，︒=45B ，ABC ∆的面积为2，则ABC ∆的外接圆直径等于 13．已知0>a ，函数axxx f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，12 211abc则a 的最大值是14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数，满足)2(2)(xf x f =，且1)1(=f ，在每一个区间⎥⎦⎤⎝⎛-121,21i i（ ,3,2,1=i ）上，)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分，记直线nx 21=，121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为na （ ,3,2,1=n ），则数列{}na 的通项公式为三．解答题（共80分） 15．（12分）已知函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ23,0，且432tan -=θ，若对任意R x ∈，都有0)(≥x f 成立，求θcos 的值16．（12分）解关于x的不等式03≥2axax++x17．（14分）如图，四棱锥ABCDS-的底面是正方形，⊥SA底面ABCD，E是SC上一点（1）求证：平面⊥EBD平面SAC；（2）设4=SA，2=AB，求点A到平面SBD的距离；（3）当AB SA的值为多少时，二面角DSC B --的大小为︒120318．（14分）已知一次函数)(x f y =的图象关于直线xy =对称的图象为C ，且0)1(=f ，若点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nn aa n A 1,（*∈N n ）在C 上，11=a，当2≥n 时，111=--+n nnn a a aa（1）求数列{}na 的通项公式；ED CBAS（2）设)!2(!5!4!3321+++++=n a a a a Sn n，求nn S ∞→lim19．（14分）设关于x 的方程0222=--ax x的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x ax x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数； （2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小420．（14分）如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列（1） 若2a ，2b ，2c 成等差数列，证明c b +，a c +，ba +成调和数列；（2） 设nS 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n1的前n 项和，证明对于任意给定的实数N ，总可以找到一个正整数m ，使得当m n >时，NSn>高三数学答案（理科）一．选择题题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 答案D D C B B C B B二．填空题9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n nka三．解答题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ01cos ≤-x 0sin ≤∴θ πθπ23<≤∴ 由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ 16．解：原不等式等价于0)1(2≥++ax ax x当4>a 时，解集为[)∞+-+----,0]24,24[22 aaa a a a a a当4=a 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≥210x x x 或 当40<<x 时，解集为[)∞+,0当0=a 时，解集为[)∞+,0当<a 时，解集为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-+-∞-a a a a a a a a 24,024,2217．(1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SAC(2)解：因为ABD-S SBD-A V V=，且232221SSBD⨯⨯=∆，可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥，连DF ，则B FD ∠为二面角DSC B --的平面角设1AB =，x SA =，在SB C Rt ∆中，求得2122++=x x BF ，同理，2122++=x x DF ，由余弦定理DFBF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222解得1=x ， 即AB SA＝1时，二面角D SC B --的大小为︒12018．解：（１）依题意C 过点（０，１），所以设C 方程为1+=kx y ，因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nn a a n A 1,（*∈N n ）在C 上，所以11+=+kn a a nn代入111=--+n nnn a a aa ，得1=k ，所以11+=+n aa nn ， n a a n n=∴-1，121-=--n aa n n ，…，212=a a，且11=a，各式相乘得!n an=（２）2111)2)(1(1)!2(!)!2(+-+=++=+=+n n n n n n n a n， 2121211141313121+-=+-+++-+-=∴n n n S n ，21lim =∴∞→n n S19.(1)证明：222')1()22(2)(+---=x ax x x f ，由方程0222=--ax x的两根分别为α、β()βα<知()βα,∈x 时，0222<--ax x，所以此时0)('>x f，所以)(x f 在区间()βα,上是增函数(2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ，1]2)[(]44)()[(1414)()(22222+-++-++-=+--+-=-αββαβααββααβααββαβa aa f f2a=+βα ，1-=αβ，可求得442+=-a αβ，161241)442(44)()(2222+=+++++⋅+=-∴a a a a f f αβ，所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４20．证明：（１）欲证c b +，a c +，b a +成调和数列，只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后，只须证2222c a b+=因为2a ，2b ，2c 成等差数列，所以2222c a b+=成立所以c b +，a c +，b a +成调和数列（２）nSn131211++++=212121211)212121()81818181()4141(21121312112k S k k k k k +=++++=++++++++++++>++++=∴对于任一给定的N ，欲使NSn>，只须N k >+21，即)1(2->N k ，取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数部分)，则当m n > 时，NSn>(本题解法和答案不唯一)。