江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数z ＝i(﹣1﹣2i)的共轭复数为 A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i
2．设集合M ＝{
}
2
x x x =，N ＝{}
lg 0x x ≤，则M
N ＝
A ．{1}
B ．(0，1]
C ．[0，1]
D ．(-∞，1] 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为 A ．24B ．26C ．28D ．30 4．已知函数1, 1()(2), 1
x
mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为
A ．2
B ．1
C ．
94D ．1
4
5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为 A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110
6．已知函数2
()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为
A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
7．若cos(15°＋α)＝
3
，则sin(60°﹣2α)＝
A ．
9B ．9±C ．59D ．59
-
8．某数学兴趣小组对形如3
2
()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论定是
A ．函数()f x 的图象过点(2，1)
B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值
C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]
D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列结论正确的有
A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2
B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”
C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题
D ．“x ＜1”是“11
22
x -
<”的必要不充分条件 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期
内的图象如图所示，则
A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8
f x x π
=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58
x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8
k π
π-，0)，k ∈Z
D ．函数7()8
y f x π
=+
是偶函数第10题 11．已知数列{}n a 满足0n a >，121
n n n a n a a n +=+-(n N *
∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a =B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等
人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非 空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有 A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x = C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两
动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为．
14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a ++
+
＝．第13题 15．函数sin(2)4y x π
=+
的图像与直线y ＝a 在(0，98
π
)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为．
16．已知函数3ln , 1
(), 1
x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当k ＝﹣2e 2时，有0()0g x =，
则0x ＝；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的值为．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝
13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝2
3
BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；
（2）若EF ⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值
．
18．（本小题满分12分）
如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把△ABC 沿AC 翻折到△AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ．
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求△ADP 面积的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6
π
)＝14．
（1）求∠BAC 的值； （2）若A ＝7，sinB ＝
21
，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．
20．（本小题满分12分）
定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：①()()0f x f x -+=，②
(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．
（1）判别函数3
32
2
1()e e
x x f x -
+
=-，2()cos(
)32
x f x ππ
=+是否具有性质P ？请说明理由；
（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，
21441n n a S n +=++，481b a =+．
（1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）若不等式2
(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *
∈恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；
（2）若a ＝2，且当2
e x -≥时，不等式2
()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．B2．C3．B4．D5．A6．D7．D8．B 或C （错题） 9．BD10．BD11．BC12．AD 13．814．921615．(
54π，118π)16．0，22e 1-+；1e
17．
18．
19．
20．
21．
22．。