特征值与特征向量
【教学目标】
1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】
重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学过程】
一、新课引入
教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。

二、讲授新课
教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射
变换σ只把形如10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭和20k β⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的
向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭变成10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭。

特别的，反射变换σ把向量110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把向量201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成01⎛⎫
⎪-⎝⎭。

用矩形的形式可表示为
2．设二阶矩阵A 有两个不同特征值1λ，2λ，1ξ，2ξ是分别属于特征值1λ，2λ的任意特征向量，证明向量1ξ与2ξ不共线。