矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则1λ是1A -的特征值；Aλ是*A 的特征值，a 仍为相应的特征向量；（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()11nni ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；1nii A λ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。

二、相似矩阵1、定义设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ；２、A ～B 的性质T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-⇒特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。

三、矩阵对角化的条件及方法１、若矩阵A 与对角阵相似，则称A 可对角化，（１）n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； （２）若A 的特征值两两不同，则必可对角化。

２、实对称阵A 必可对角化，且存在正交阵P ，使1P AP -=Λ实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A 的全部特征值；（２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；（３）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P二、典型例题题型１：求数字矩阵的特征值与特征向量例１（８７，６分）求矩阵312014101A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的实特征值及对应的特征向量。

解()()232+31-2310+142012214511101E A c c λλλλλλλλλλλ+-=-++-=-++--， ()()2145E A λλλλ-=-++ 所以实特征值为 1λ=，4121001 100000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，基础解系021a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故属于特征值1λ=的所有特征向量为()0,2,1Tk ，k 为任意非零常数。

例２ 设向量()()1212,,...,,,,...,TTn n a a a b b b αβ==都是非零向量，且满足条件T =0αβ，记矩阵T A=αβ，求：（１）2A （２）矩阵A 的特征值和特征向量。

（９８，９分）解 （１）()()()()2,T T T TTT A αβαβαβαββααβ===因为T =0,αβ所以T 2=0,A =O;βα⇒（２）设A ,0,x x x λ=≠则22A x Ax x λλ==，而2A O =，故20,x λ=而0x ≠，故0λ=，解齐次线性方程组()00E A x -= 不妨设11111211221222120,0,.........00...0...00...0n n n n n n n a b a b a b a b b b b a b a b a b A a b a b a b ≠≠---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ，可得基础解系 32121111,1,0,...,0010,...,,0,0, (1)TTn n b b b b b b ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，...，于是A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211...n n c c c ξξξ--+++，其中121,,...,n c c c -是不全为零的任意常数。

例３（０９，４）设()()1,1,1,1,0,,T T k αβ==若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．解 T αβ＝111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()101,0,10,10k k k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意，()1300,T t r k αβ=+=++即2k =。

例４设122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（１）求A 的特征值；（２）求-1+A E 的特征值。

解 ()()221+122122E-A =2+12+r 110150-22+1221r λλλλλλλλλλ--+-----=-+=-+， 所以A 的特征值为１，１，－５；由特征值性质可知，1A -的特征值为１，１，15-，设(0),Aa a a λ=≠则()P A 的特征值为()P λ，其中()P x 为任一多项式，而α仍为相应的特征向量。

于是1+A E -的特征值为２，２，45。

题型２ 特征值、特征向量的逆问题例１（９７，６分，数一）已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2-12A=5312a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，（１）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； （２）问A 能否相似于对角阵？说明理由。

解（１）00000212112125311531,3,0121112a a a b b b λλλλλ---=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎪⎪⎪ ⎪=⇒+-=⇒=-=-=⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----++=-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩（２）212A 533102-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1λ=-是三重特征根，312101523011,101000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秩为２，所以只有一个线性无关的特征向量，故A 不可对角化。

例２ 设矩阵1A=5310ac b c a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1Tα=--求,,a b c 和0λ的值。

解 由题设，***000,,,,AA A E E A a a AA a Aa a Aa λλλ==-==-=即有011153111011ac b c a λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()00011(1)21(2)11(3)a c b c a λλλ-++=⎧⎪⇒--=⎨⎪--=-⎩ （１）－（３）得0λ＝１，代入（２）得3b =-，代入（１）得a c =，再代入1A =-111A 53353352331101101aaa aa a aa a a ---=-=-==-=----，所以2a c ==。

类题（＋０８，１０分）设矩阵15301bc A a c b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1Ta =--，求,,a b c 和0λ的值。

答案 3,4,a b c ===-0λ＝１.题型３：相似矩阵的判定及其逆问题例１（９２，７分）设矩阵A ～B ，其中20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（１）求x 与y 的值；（２）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。

解 因为A ～B ，所以E A E B λλ-=-，即()()()()()()221212,x x y λλλλλλ⎡⎤+-++-=+--⎣⎦令λ=0，得()222x y -=，令λ=1，得2,y =-所以0x =。

（2）200100202,020311002A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，对应于A 和B 的共同特征值-1，2，-2的特征向量分别为()()()1230,2,1,0,1,1,1,0,1T T Tξξξ=-==-，得可逆矩阵001210111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，满足1P AP B -=。

例2 （+05，7分）已知矩阵28220006x A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于对角阵Λ，试求常数x ，并求可逆阵P ,使1P AP -=Λ。

解 ()()22822062006xE A λλλλλλ----=--=-+=-得A 得特征值 12362λλλ===-，，4-81206E-A=24000000000x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为A 相似于对角阵Λ，所以()61r E A -=，即x =0，基础解系12020,1,10ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34801202,2240001,008000E A λ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦基础解系3210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取022600011060100002P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，，使1P AP -=Λ。

题型4：可对角化的判定及其逆问题例1（94，8分）设0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量，求x 和y 应满足的条件。

解()()2011111010E A x y λλλλλλ--=---=-+=-，得A 的特征值为1231,1λλ==-、，只要对应121λ=、有两个线性无关的特征向量即可，即矩阵1E A ⋅-的秩等于1，1011011 101000E A x y y x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只要满足0x y +=即可。

5、正定二次型与正定矩阵若对0X ∀≠,有()0T f X X AX =>，称()f X 为正定二次型，A 正定的充分必要条件；（1）A 的正惯性指数等于n ；（2）A 与E 合同，即存在可逆阵D ，使T A D D =；（3）A 的特征值全正；（4）A 的顺序主子式全正；A 正定的必要条件：0,1,2,...;0ii a i n A >=>；若A 是正定矩阵，则1*,,,,()T m A A A A P A -均为正定阵，其中P()x 为系数全正的多项式；若,A B 均为正定阵，则(,0)kA lB k l +>也是正定阵；但AB 正定⇔A B B A=；其他类似还有负定、半正定、半负定等。