共点力作用下物体的平衡一、学习目标1．准确且恰当的选取研究对象，进行正确的受力分析且能画出利于解题的受力图。

2．熟练掌握常规力学平衡问题的解题思路。

3．会运用相应数学方法处理力的合成与分解，掌握动态平衡问题的分析方法。

二、知识概要1. 共点力——几个力作用于物体的一点，或它们的作用线（或其反向延长线）交于一点，这几个力叫共点力。

2、共点力作用下物体的平衡状态：静止或匀速运动3、共点力作用下物体的平衡条件：合外力为零或加速度为零 F 合＝0 或 a=0在正交分解法时表达式为： F x 合＝0，F y 合＝0 4、平衡条件的推论（1）物体受两个力作用处于平衡，则这两个力是一对平衡力。

（2）物体受三个力处于平衡，则:a 、任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反；b 、平移三力一定构成一个封闭的三角形;c 、三力平衡不平行必共点。

（3）物体受多个力而平衡，则: a 、正交分解法求解选择x 、y 轴方向时，要使尽可能多的力落在坐标轴上，尽可能少分解力，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力b 、任一个力与其余的力的合力大小相等，方向相反。

5、求解平衡问题的基本思路 (1) 明确平衡状态(加速度为零)； (2) 巧选研究对象(整体法和隔离法)；若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体。

(3) 准确分析受力 (规范画出受力示意图)； 一般受力分析的顺序是：场力（重力、电场力、磁场力）、弹力（接触面的弹力、绳弹力、杆弹力）、摩擦力、已知外力、未知外力。

(4) 据物体的受力和已知条件，采用力的合成（一般适用于三力平衡）、力的分解（正交分解、效果分解）、力汇交原理、矢量三角形法、相似三角形、正弦定理、余弦定理等，确定解题方法；(5) 求解或讨论(解的结果及物理意义)。

三、典型例题例1．如图所示，轻绳的A 端固定在天花板上，B 端系一个重力为G 的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上。

已知AB 绳长为l ，大球半径为R ，天花板到大球顶点的竖直距离AC = d ，∠ABO > 900。

求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小（小球可视为质点）。

解：小球为研究对象，其受力如图所示。

绳的拉力F 、重力G 、支持力F N三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB 相似，则根据相似比的关系得到：l F =R d G +=R F N ，于是解得 F = R d l +G ，F N = Rd R+G 。

例2．如图所示，质量为m 的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC 的C 端，B 端用铰链连接，C 点由轻绳AC 系住，已知AC 、BC 夹角为θ，则轻绳AC 上的张力和轻杆BC 上的压力大小分别为多少？O ACBF N F C A B θθF NFTmg 解：选C 点为研究对象，受力情况如图所示，由平衡条件和正弦定理可得：00sin sin(90)sin 90N T F F mgθθ==- 即得sin T mgF θ=和F N =mg cot θ所以由牛顿第三定律知，轻绳AC 上的张力大小为sin T mgF θ=，轻杆BC 上的压力大小为F N =mg cot θ本题还可以用合成法、分解法，正交分解法等。

例3．半径为R 的半球形光滑碗固定在水平地面上，一根粗细均匀长度为2L 的杆斜靠在碗边（如图所示）。

求当杆处于平衡状态时，杆与水平面之间的倾角α。

试讨论要使杆处于平衡状态，杆长与碗的半径应有怎样的关系。

分析：杆受到重力G （重心在均匀直杆的中点），碗对杆的一端的弹力N （方向指向碗的球心），碗边缘对杆的弹力T （垂直杆向上）。

如图，DB =2R cosa-L ，BC =DB ×cot a ，BC =AB tan a ，AB =2R cos a(2R cos a - L )cot a =2R cos a tan a 得L =2R cos2a /cos a四、检测题1．如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的（q ＞0）相同小球，小球之间用劲度系数均为k 0的轻质弹簧绝缘连接。

当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l 已知静电力常量为k ，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ）A ．20225l k kq l +B ．202l k kq l -C ．20245l k kq l -D ．20225lk kq l - 2．如图所示，倾角为θ的斜面体C 置于水平面上，B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A 相连接，连接B 的一段细绳与斜面平行，A 、B 、C 都处于静止状态。

则 ( )A ．B 受到C 的摩擦力一定不为零 B ．C 受到水平面的摩擦力一定为零C ．不论B 、C 间摩擦力大小、方向如何，水平面对C 的摩擦力方向一定向左D ．水平面对C 的支持力与B 、C 的总重力大小相等3．S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1、k 2的两根弹簧，k 1＞k 2；a 和b 表示质量分别为m a 和m b的两个小物块，m a ＞m b ，将弹簧与物块按图所示方式悬挂起来，现要求两根弹簧的总长度最大，则应使（ ）A ．S 1在上，a 在上B ．S 1在上，b 在上DR2L2α上下C ．S 2在上，a 在上D ．S 2在上，b 在上4．有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑。

AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。

现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是（ ） A ．F N 不变，f 变大 B ．F N 不变，f 变小 C ．F N 变大，f 变大 D ．F N 变大，f 变小5．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a 持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（ ）6．如图所示，A 、B 是两根竖直立在地上的木桩，轻绳系在两木桩不等高的P 、Q 两点，C 为光滑的质量不计的滑轮，当P 点的位置变化时，轻绳的张力的大小变化情况是A 、P 点上下移动时，张力不变B 、P 点上下移动时，张力变大C 、P 点上下移动时，张力变小D 、条件不足，无法判断7．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球。

当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比m 2/m 1为（ ） A ．33 B ．32 C ．23 D ．228．如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l 。

现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为（ ）A. mgB.33mg C. 21mg D. 41 mg9．一光滑半圆形圆环固定在竖直平面内，环上套着一个质量为m 的小球P ，用细绳相连系于A 点，处于平衡状态，如图所示。

若细绳与水平面夹角为30︒，则细绳对小球的拉力F T 为_______，环对小球的弹力F N 为________。

10．如图所示，重为G 的小球，用一细线悬挂在点O 处。

现用一大小恒定的外力F (F <G )缓慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线和竖直方向的夹角最大为多少？O AB P QA B C Da a a ab b bb ab左右P C Q GABO θ O B A P300O m 1m 2α11．重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？12．重力为G 的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F 1，求地面对杆下端的作用力大小和方向？13．如图所示，水平放置的两根固定的光滑硬杆OA 、OB 之间的夹角为θ，在两杆上各套轻环P 、Q ，两环用轻绳相连，现用恒力F 沿OB 杆方向向右拉环Q ，当两环稳定时，绳的拉力是多大？14．如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，且AC 绳水平时，两绳所成角为θ=600。

在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

15．如图所示，一个重为G 小圆环套在竖直的半径为R 的大圆环上，轻弹簧原长为L (L ＜2R )，其劲度系数为k ，接触光滑，求小圆环静止时弹簧与竖直方向的夹角。

θ OB P F QAA BC Fθ θF 1F 2答 案1．C 解析：第三个小球受三个力的作用它们的关系是22220)2(l q kl q k x k +=，得20245l k Kq x = 202045l k Kq l x l l -=-= 2．C 解：隔离B 可知当m A g ＝m B g sin θ时，B 与C 之间无摩擦，A 错误；将B 、C 作为一个整体时，由A 对B 的拉力在水平与竖直两方向上的分力知C 正确。

B 错误，而水平面对C 的支持力应比B 、C 的总重力小，D 错误。

3. D4．B 解：以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，F N =2mg 不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N =mg tan α也将减小。

再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的摩擦力f 作用，因此f =N 也减小。

5．A 解法Ⅰ：将a 、b 两球及两球间的绳看做一个物体系统，以这个系统为研究对象，因为作用在a 、b 上的恒力等大反向，其合外力平衡。

而a 、b 受的重力竖直向下，要保持平衡，故a 到悬点的细绳的力必然沿竖直方向向上，故选A 。

解法Ⅱ：也可以分别将a 、b 隔离进行受力分析，分别对a 、b 两球列出水平分力的平衡方程即可。

以c 图为例，受力如图所示。

对a ：水平方向有βαc o s c o s 30cos 211T T F +=对b :水平方向有βc o s30cos 22T F =因为F 1 = F 2所以0cos 1=αT ,由于T 1≠0故90=α 6．A7．A 解：本题有多种解法，正弦定理、相似三角形、正交分解等，此处用正弦定理。