2018年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x∈N|x2﹣x﹣2＜0}的真子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．144．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．25．（5分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．7．（5分）若向量，满足，，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．58．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．﹣3 B．4 C．2 D．59．（5分）由曲线xy=1与直线y=x，y=3所围成的封闭图形面积为（）A．2﹣ln3 B．ln3 C．2 D．4﹣ln310．（5分）设a=log25，b=log415，c=20.5，则a，b，c大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b11．（5分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016a2017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n的值为（）A．2016 B．2017 C．4031 D．403212．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n等于．14．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为．15．（5分）函数y=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为．16．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，△ABC的面积S=2，且满足acosB=b（1+cosA），则（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．18．（12分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．19．（10分）证明：不是有理数．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=4a n+2，a1=1．（1）b n=a n+1﹣2a n，求证数列{b n}是等比数列；（2）设，求证数列{c n}是等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．21．（12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（1）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与CF所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程．（2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．2018年辽宁省鞍山一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x∈N|x2﹣x﹣2＜0}的真子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={x∈N|x2﹣x﹣2＜0}={x∈N|﹣1＜x＜2}={0，1}，∴集合A={x∈N|x2﹣x﹣2＜0}的真子集个数为22﹣1=3．故选：C．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．3．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．4．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．5．（5分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+”为假命题∴“为真命题即恒成立∴解得﹣1＜a＜3故选B6．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵s in2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A7．（5分）若向量，满足，，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：∵，，∴（+）2=10，（﹣）2=6，两者相减得：4•=4，∴•=1，故选：A．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．﹣3 B．4 C．2 D．5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为3×1+1=4．故选：B．9．（5分）由曲线xy=1与直线y=x，y=3所围成的封闭图形面积为（）A．2﹣ln3 B．ln3 C．2 D．4﹣ln3【解答】解：方法一：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2），=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3故选：D．方法二：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），对y积分，则S=（y﹣）dy=（y2﹣lny）=﹣ln3﹣（﹣0）=4﹣ln3，故选D．10．（5分）设a=log25，b=log415，c=20.5，则a，b，c大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log25＞log24=2，2=log416＞b=log415＞log48=1.5，c=20.5=，∴a，b，c大小关系为a＞b＞c．故选：B．11．（5分）在等差数列{a n}中，a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016a2017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大自然数n的值为（）A．2016 B．2017 C．4031 D．4032【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016a2017＜0，∴等差数列{a n}是单调递减数列，d＜0，因此a2016＞0，a2017＜0，∴S4032==＞0，S4033==4033a2017＜0，∴使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4032．故选：D．12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n等于n2+n．【解答】解：等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列，所以（a4）2=a2•a8，可得（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2．则{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：n2+n．14．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为或．【解答】解：∵圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心C（2，3），半径r=2，∴圆心到直线y=kx+3的距离d==，∵直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，∴2=2=2，解得k=，∴直线的倾斜角为或．故答案为：或．15．（5分）函数y=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为5+2．【解答】解：函数y=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，当x+4=1时，即x=﹣3，y=﹣1，则A（﹣3，﹣1），∴﹣3m﹣n+1=0，∴3m+n=1，∴=（3m+n）（）=5++≥5+2=5+2，当且仅当n=m 时取等号，故最小值为5+2，故答案为：16．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，△ABC的面积S=2，且满足acosB=b（1+cosA），则（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范围是．【解答】解：∵在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b （1+cosA），∴sinAcosB=sinB+sinBcosA，sin（A﹣B）=sinB，∴A﹣B=B，即A=2B＜，可得：B∈（0，），可得：A+B=3B∈（，），故C∈（，），∴∈（，），∴tanC=＞1，可得：1＞tan＞﹣1+．∵△ABC的面积S=ab•sinC=2，∴ab=，则（c+a﹣b）（c+b﹣a）=c2﹣（a﹣b）2=c2﹣a2﹣b2+2ab=﹣2ab•cosC+2ab=2ab（1﹣cosC）=（1﹣cosC）=8=8tan∈（8﹣8，8）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最值．【解答】解：（1）∵，∴，令：，解得：．函数f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为：．（2）∵，∴．因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，f（x）取最大值1．又∵，当时，f（x）取最小值．18．（12分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，当x≥1时，不等式化为x+2＜2，解得x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，不等式化为3x＜2，解得x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣2＜2，解得x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣；综上可得，原不等式的解集为（﹣4，）；（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min=﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3；所以a的取值范围是[﹣1，3]．19．（10分）证明：不是有理数．【解答】证明：假设为有理数那么存在两个互质的正整数p，q，使得：，于是，两边平方得p2=2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，s是正整数，代入上式，得：4s2=2q2，即q2=2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此不是有理数．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=4a n+2，a1=1．（1）b n=a n+1﹣2a n，求证数列{b n}是等比数列；（2）设，求证数列{c n}是等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．【解答】（1）证明：由题意，S n+1=4a n+2，S n+2=4a n+1+2，两式相减，得S n+2﹣S n+1=4（a n+1﹣a n）a n+2=4a n+1﹣4a n，∴a n+2﹣2a n+1=2（a n+1﹣2a n），∵b n=a n+1﹣2a n，∴b n+1=2b n，又由题设，得1+a2=4+2=6，即a2=5，∴b1=a2﹣2a1=3，∴{b n}是首项为3，公比为2的等比数列；（2）证明：由（1）得，∴，∴，即．∴数列{c n}是首项为，公差为的等差数列；（3）解：由（2）得，，即，∴．则S n=4a n﹣1+2=（3n﹣4）•2n﹣1+2．21．（12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（1）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与CF所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程．（2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．【解答】解：（1）取线段CD的中点，连结KQ，直线KQ即为所求．余弦值为，如图所示：（2）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴，，设平面ECF的法向量为，得，取y=1，得平面ECF的一个法向量为，设直线EB与平面ECF所成的角的正弦值为：==．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。