馈。由于状态变量不一定具有物理意义，所以状态反馈往往不易实现。而输出变量则有明
显的物理意义，因而输出反馈易实现。
对于式(2.1)描述的线性系统，当将系统的控制量 取为输出 的线性函数
(2.4)
时，称之为输出反馈，其中其中 为 维参考输入向量， 为 矩阵，称为输出反馈增益矩阵。
将式(2.4)代入式(2.1)，可得到采用输出反馈后闭环系统的状态空间方程
3.
3.
3.
对于具有相同输入、输出个数的MIMO线性定常系统
(3.8)
设 为系统的输入输出个数，可采用控制规律 ，即存在输入变换阵和状态反馈矩阵对 进行解耦的充要条件是：可解耦性判别矩阵 为非奇异。且当选取 为 时，解耦控制系统的传递函数矩阵为
(3.9)
其中 ， 与 是解耦控制中两个基本特征量。对 对角线上第一个元素可提出第 个极点要求，并有
2.
设不完全能控的多输入系统为
(2.21)
经过坐标变换，即经过能控结构分解，式(2.21)可写成
(2.22)
式中， 为能控子系统，由于坐标变换不改变系统的极点，所以式(2.21)与式(2.22)系统的极点相同，它们的极点集为
(2.23)
极点 为能控极点， 为不能控极点，考虑式(2.22)系统的任意状态反馈
设计主要内容：
（1）求出系统的传递函数。
（2）设计串联解耦环节，并求出解耦后的系统传递函数。
（3）对解耦后的系统进行极点配置，并求出配置后系统的传递函数。
（4）绘制原系统及配置极点后系统的输出响应曲线图，并进行分析。
3.
3.
线性定常系统的状态空间表达式包括状态方程和输出方程，简写形式如下
(3.1)
式中， 分别为 维， 维， 维向量。式(3.1)中，上式为状态方程，下式为输出方程。状态空间表达式实际上是对MIMO系统的时域描述，而传递函数阵则是对系统的频域描述，把时域的数学模型转换成频域的数学模型，其基本方法是在零初始条件下取拉氏变换。因此，对式(3.1)在零初始条件下取拉氏变换，则有
(2.24)
在此反馈作用下，闭环系统为
(2.25)
闭环系统极点为
(2.26)
由于 是能控的，所以适当选择 ，可使闭环系统 部分的极点能任意配置。而不能控部分 的特征值在任意状态下反馈都不会改变。如果 的特征值均具有负实部，则可选择 ，使能控部分的闭环极点 均具有负的实部，因此存在状态反馈，使闭环系统稳定。若 不全具有负实部，显然不存在状态反馈使闭环系统稳定。
1.
所谓串联解耦，就是在原反馈系统的前向通道中串联一个补偿器 (s)，使闭环传递矩阵 (s)为要求的对角矩阵G(s),系统的结构如图
其中， （s）为受控对象的传递矩阵；H为输出反馈矩阵； (s)为前向通道的传递矩阵。
为简单起见，设各传递矩阵的每一个元素均为严格真有理分式。由图得系统的闭环传递函数矩阵为
第四章：总结
书
(s)= (s)=G(s)
(s)=G(s)
(s)= (s) (s)
因此串联补偿器的传递矩阵为
(s)= (s)G(s)
若是单位反馈时，即H=I，则
(s)= (s)G(s)
一般情况下，只要 (s)是非奇异的，系统就可以通过串联补偿器实现解耦控制。话句话说det (s) 0是通过串联补偿器实现解耦控制的一个充分条件。
(3.2)
由式(3.2)状态方程式的拉氏变换式，得
(3.3)
上式两边左乘以逆矩阵 ，有
(3.4)
把式(3.4)代入式(3.2)输出方程的拉氏变换式，得
(3.5)
按照传递函数的定义，从上式可直接写出MIMO系统的传递函数阵，即
(3.6)
在工程实际中，对MIMO系统的传递函数，一般分母阶次 不小于分子阶次 。当 = 时，传函为式(3.6)； > 时，传函 ，系统传函为
(2.17)
若只考虑 的第一个输入 时，且 为 的第一列，则有单输入系统
(2.18)
若被控对象式(2.7)是完全能控的，则当取状态反馈式(2.15)的增益矩阵为
则单输入系统 是完全能控的。
若系统 是完全能控的，则对式(2.18)单输入系统的能控性矩阵
有
(2.19)
及
(2.20)
即 的最后一行行向量与 的最后一行行向量相等。故极点配置步骤如下：
(2.5)
输出反馈至参考输入的系统结构图如图5.2所示。比较(5.1)和(5.5)式可见输出反馈前后的系统特征方程分别为 和 ，从而可见输出反馈后的系统极点与输出反馈矩阵 有关。
当我们把图2.2输出反馈结构图中的 矩阵移到第一个相加点之前时，就是输出变量反馈到 端的情况如图5.3所示。
图 2.2 输出反馈至参考输入结构图
1.
第二章：
2.
控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布。因此，在进行系统设计的时候，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点的位置。所谓“极点配置”，就是使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。在状态空间中，通常采取反馈系统状态变量或输出变量的方法来实现极点配置。
(3.7)
式中， 为求行列式的多项式， 是 阵的特征多项式， 和 均表示伴随矩阵。
3.
由 ， ，代入表达式中，有
3.
3.
3.
依据第一章串联解耦原理串联一个补偿器，使系统传函为对角矩阵形式。
3.
解耦后结构图如图3-1所示，其中 。受控对象 和要求的闭环传递函数矩阵 分别为
由 ，代入 ， 和 有
即，在串联补偿器 的作用下，可实现闭环系统的解耦，解耦结果为
系统式(2.21)用状态反馈使闭环系统稳定的充分必要条件为系统的不能控极点 都具有负实部。
若系统 的不能控极点 都具有负实部，则称 是能稳定的，因此可以说系统 能用状态反馈使闭环系统稳定的充分必要条件为 是能稳定的。
第三章
3.
已知系统的状态空间表达形式如下：
要求：
设计一个串联解耦环节，实现闭环系统的完全解耦，并将其极点配置在 处。
这个反馈只是对单输入 加的，因此对全体输入 而言，反馈增益阵为 ，其中 为 的零矩阵。
(4)使系统 实现极点任意配置的状态反馈为
其中
图2.4多输入极点配置的闭环系统
图2.4(a)给出了对多输入系统按所给的设计思路构成的闭环系统，它实际上就是如图2.4(b)所示的闭环系统。显然， 与 具有相同的特征值，因此使所介绍的设计方法得以实现。
设计串联解耦环节实现系统的解耦控制
绪论
解耦控制又称为一对一控制，是多输入多输出线性定常系统综合理论中的一项重要内容。对于一般的多输入多输出受控系统来说，系统的每个输入分量通常与各个输出分量都互相关联（耦合），即一个输入分量可以控制多个输出分量。反过来说，一个输出分量受多个输入分量的控制。这给系统的分析和设计带来很大的麻烦。所谓解耦控制就是寻求合适的控制规律，使闭环系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量的控制，也就是实现一对一控制，从而解除输入与输出间的耦合。方法有串联解耦和状态反馈解耦。在多变量系统中,不同的输入和输出之间存在着耦合,即系统的第一个输入量不但会对第一个输出量产生影响,而且还会影响到其他的输出量。这样就造成了控制系统设计和实际操作的困难。因此,控制领域的工程人员就提出了解耦的思想,试图把多变量系统分解为多个单变量系统。解耦控制的思想最早是由gilbert完成的。当时称为Morgan问题。解耦问题是多输入多输出线性定常系统综合理论的一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制,而且不同的输出分量受不同的输入分量控制,从而可以运用经典的控制系统综合方法进行系统校正,以使系统的动静态性能及各项指标满足工程实际的需要。
2.
控制系统采用反馈控制改善系统的动态性能，无论在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈控制都是控制系统的主要方式。古典控制理论习惯于采取系统输出量作为反馈量，而现代控制理论中可以采用状态反馈和输出反馈两种控制方式。
2.
设系统为
（2.1）
其中， , , 分别为 维状态变量、 维输入向量和 维输出向量： 、 、 分别为 、 、 矩阵。
图 2.3 输出反馈至 结构图
此时，系统的状态方程为
(2.6)
式中， 为 矩阵，也称为输出反馈增益矩阵。输出反馈不改变系统的能观性。
状态反馈和输出反馈(主要指输出反馈至 的情况)都能够对系统进行极点配置，且一般经验认为，用简单的比例反馈(即 ， 或 为常数矩阵)就能使问题得到解决。
2.
多输入系统的极点配置的方法和原则较多，本书只介绍其中的一种。这种极点配置的基本思路是：首先求一状态反馈，使得其闭环系统对某一输入(例如第一个输入 )是能控的，再按单输入系统配置极点的方法配置极点。
并以此作为列向量，构造矩阵
(2. ，则意味着 不出现，显然 是 阶的满秩矩阵，故 存在。
再构造如下矩阵
(2.14)
式中， 为 维列向量，且位于 矩阵的 列，显然 是 阶矩阵，令
即 (2.15)
为式(2.7)系统先构造一个状态反馈
(2.16)
系统式(2.7)在状态反馈式(2.16)作用下的闭环系统为
(1)利用所给系统的 、 ，根据式(2.11)和式(2.14)构造 及 阵，并由式(2.15)求出闭环 对于单输入 能控的反馈增益阵 ，且记 的最后一行为 。
(2)计算 的特征多项式，即
根据指定的极点 ，计算由单输入 实行反馈的闭环系统特征多项式
(3)求出将 化为能控标准形的变换矩阵，即
将 逆变换到原来的坐标系，则得实际的反馈增益为
第一章
1.
若一个系统 的传递函数G（s）是非奇异对角矩阵，即
G(s)=
则称系统 是解耦的。
由式可知，此时系统的输出为
整理可得