P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小
值为
A
B
M
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
P
B′
【典型例题】
例2.（“两动一定”）如图，在锐角△ABC 中，A4 B2= ，∠BAC=45°，∠BAC的平 分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上 的动点，请你求出BM+MN的最小值．
解析：AD是角平分线，所以具有
轴对称，先作N′与N关于AD对称，
已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、
B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上
是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长
最短.
y
A′
A
B
D
OC
x
B′
反思总结
此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正 方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些 问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有 一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变 化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再 通过找定直线（在那条直线上确定点就作定点关于 这条直线的对称点）的对称点，从而将问题转化为 上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长 或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定 长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”来进行 求解。
小值（ ） A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2
Q
D
C
PE
A
B
【变式训练】
练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内
一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的
动点，求△PQR周长的最小值． B P1
Q
P
O
RA P2
【典型例题】
例3.(“两动两定”)如图，直线l1、l2交于O，A、 B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上 一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点， 求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
【常见模型】
模型一：两点同侧：如图1，点P在直线l上运动。 画出一点P，使 |PA－PB|取最大值；
模型二：两点异侧：如图2，点P在直线l上运动， 画出一点P,使|PA－PB|取最大值；
A
A
B'
B
l
l
P
P
图1
图2
B
【典型例题】
例1：已知：点A(0,1)，B(3,4)，点P在x轴上
运动时，当|PA-PB|的值最大时，求出此时
图1
图2
3.如图，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O 上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一动 点，PA+PC的最小值为________。
4．在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，
且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，
则PE+PC的最小值是
．
A C
A
D
P
O
B
图3
B E
C
图4
课本原型（七年级（下））
【课时练习】
1、如图1，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的 中线，M是AD上的动点，E是边AC上的一点，若 AE=2，EM+CM的最小值为________。
2、如图2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的 中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的 最小值是3，则AB长为________.
此先作B（A）关于x轴的对称点B′
（ A′） ，连接AB′与x轴的交点即为所 O P
x
求的点P。
B′
由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因为 A(3,4)，
所以易求直线A B′：y=2x-2,
所以点P（1，0）
变式训练
如图，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在
⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，
点P 的坐标
y
分析：“两点同侧”当点P、A、B
B
专题复习----“线段和（差）的最值”
我们初中数学中学习过的平面图形有线段、 角、三角形、四边形和圆，而线段和的最值问 题都基于图形的轴对称性来确定问题中点的位 置，从而求线段和的最值，同时这部分题目的 考查也会渗透在平面直角坐标系和函数的题目 中，因此将这块放在二轮复习中进行专题复习。
从历年的中考数学题型来看，经常会考查距 离最值的问题，并且这部分题目在中考中失 分率很高，应该引起我们的重视。几何极值 问题在教材中虽然没有专题讲解，但却给出 了它的模型。初学时大家的认知水平和理解 水平有限，处理这类问题时我们并没有进行 拓展和延伸，因此在初三的综合复习中对此 进行专题复习是很有必要的。
本课我们共同来解决线段和的最值问题
课本原型（七年级(下)）
• 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向 居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地 方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？
B
A
PP
A`
• 理论依据：两点之间，线段最短 • 用途：求两条线段和的最小值
应用：求两条线段和的最小值
模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上 运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
• 如图所示，在三角形ABC中，分别量出三
个三角形的三边长度，计算三角形的任意
两边之差并与第三边比较，你能得到什么
结论？
B
C
AB-AC﹤BC
A
即：三角形任意两边之差小于第三边
应用：求两条线段差的最大值
A、理论依据：三角形两边之差小于第三边 B、用途：求两条线段差的最大值
B
C
D
P
当P在直线运动到D 时，（AB－AC）取最大
模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上 运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
A B
l P
B'
图1
A
l P B
图2
【典型例题】
例1.（“两定一动” ）如图，在直角坐标系中，点 A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，
求当PA +PB最小时点P的坐标．
类型“两点同侧”
y
A
在x轴上确定一点P使PA+PB最小，因 B
所以M N′=MN，要使BM+MN最小， 即BM+MN=BM+MN′最小，所以当B，
N′
M， N′在一条直线上时最小，此 N′
时为BN′的长度，而BN′最小时
M
即为B N′与AC垂直时最小，易求 A
得BM+MN的最小值为4
N
C D B
变式训练
练习1，如图，正方形ABCD的边长为4， ∠CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q 分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最
解析：由前面的知识积累可以
得知：先作出点A′与 A关于直 线l1对称，则PA=P A′，然后再 作 B′与B关于l2对称，则QB=Q B′连接A′B′交l1，l2于点P，Q， 则AP+PQ+QB= P A′+PQ+Q
A′ l1
PA
B
B′，当四点共线时， AP+PQ+QB最小。
O
Q
l2
B′
【变式训练】