高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设，则（ ）．xx y sin 12-=='y A ． B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ． D ．x x x x sin )1(sin 22-+-xx x x sin )1(sin 22---2．设，则（ ）．1ln )(2+=x x f =)2('f A ． B ． C ． D ．545251533．已知，则的值为（ ）．2)3(',2)3(-==f f 3)(32lim 3--→x x f x x A ． B ． C ． D ．不存在4-084．曲线在点处的切线方程为（ ）．3x y =)8,2(A ． B ． C ． D ．126-=x y 1612-=x y 108+=x y 322-=x y 5．已知函数的图象与轴有三个不同交点，，且d cx bx ax x f +++=23)(x )0,(),0,0(1x )0,(2x 在，时取得极值，则的值为（ ）)(x f 1=x 2=x 21x x ⋅A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定6．在上的可导函数，当取得极大值，当取得极R c bx ax x x f +++=22131)(23)1,0(∈x )2,1(∈x 小值，则的取值范围是（ ）．12--a b A ． B ． C ． D ．)1,41()1,21(41,21(-21,21(-7．函数在区间的值域为（ ）．)cos (sin 21)(x x e x f x +=2,0[πA ． B ． C ． D ．]21,21[2πe )21,21(2πe ],1[2πe ),1(2πe 8．积分（ ）．=-⎰-a a dx x a 22A ． B ． C ． D ．241a π221a π2a π22a π9．由双曲线，直线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为12222=-by a x b y b y -==,y （ ）A ．B ．C ．D ．238ab πb a 238πb a 234π234ab π10．由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ）．x y 22=4-=x y A ．B ．C ．D ．183383161611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．VＡ． Ｂ． Ｃ． D ．3V 32V 34V 32V12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花)0(sin π≤≤=x x y 瓣的面积为（ ）．A ．B ．C ．D ．2336π+223312π+26π+22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卷相应空格上。

）13．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，3x y =)0)(,(3≠a a a x a x =61则_________ 。

=a 14．一点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移是，那么速度为零t 23425341t t t S +-=的时刻是_______________。

15．_______________.=++++++∞→)2211(lim 22222nn n n n n 16． ____________。

=-+-⎰dx x x 40|)3||1(|三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分10分）已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范),1(),1,(2t x b x x a -=+=b a x f ⋅=)()1,1(-t 围。

（18）（本小题满分12分）设，求函数的最大值和最小值。

a x ≤≤0x x x x x f 24683)(234+--=（19）（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.x bx ax x f 3)(23-+=1±=x (1)讨论和是函数的极大值还是极小值;(2)过点作曲线的切线,)1(f )1(-f )(x f )16,0(A )(x f y =求此切线方程.（20）（本小题满分12分）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆R α锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？α(21) （本小题满分12分） 直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的kx y =2x x y -=x 两个部分,求的值.k (22) （本小题满分14分）已知函数。

0,21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f （1）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围。

（2）设函2=b )()()(x g x f x h -=a 数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别)(x f 1C )(x g 2C Q P ,PQ x 交、于点。

证明：在点处的切线与在点处的切线不平行。

1C 2C N M ,1C M 2C N一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）（13）、 （14）、 （15）、 （16）、 1±0=t 2ln 2110三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分10分）解：由题意知：，则t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （3分）t x x x f ++-=23)('2 ∵在区间上是增函数，∴)(x f )1,1(-0)('>x f 即在区间上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分）x x t 232->)1,1(- 设，则，于是有x x x g 23)(2-=3131(3)(2--=x x g 5)1()(max =-=>g x g t ∴当时，在区间上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）5>t )(x f )1,1(- 又当时， ，5=t 314)31(3523)('22+--=++-=x x x x f 在上，有，即时，在区间上是增函数)1,1(-0)('>x f 5=t )(x f )1,1(-当时，显然在区间上不是增函数5<t )(x f )1,1(-∴ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）5≥t （18）（本小题满分12分）解：)2)(1)(1(1224122412)('23--+=+--=x x x x x x x f 令，得： ┅┅┅┅┅┅┅ （2分）0)('=x f 2,1,1321==-=x x x 当变化时，的变化情况如下表：x )(),('x f x f x )1,0(1)2,1(2),2(+∞)('x f +0－0+)(x f 单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴极大值为，极小值为 又，故最小值为0。

┅（6分）13)1(=f 8)2(=f 0)0(=f 最大值与有关：a （1）当时，在上单调递增，故最大值为：)1,0(∈a )(x f ),0(a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）a a a a a f 24683)(234+--= （2）由，即：，得：13)(=x f 01324683234=----x x x x ，∴或0)1323()1(22=---x x x 1=x 31021±=x 又，∴或 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）0>x 1=x 31021+=x ∴当时，函数的最大值为： ┅┅ （12分）1[∈a ]31021,+)(x f 13)1(=f （3）当时，函数的最大值为：(∈a ),31021+∞+)(x f ┅┅┅┅┅a a a a a f 24683)(234+--=123456789101112B C A B B C A B B A C B（19）（本小题满分14分）解：，依题意，323)('2-+=bx ax x f，即 解得 ┅┅ （3分）0)1(')1('=-=f f ⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 0,1==b a∴，∴x x x f 3)('3-=)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令，得 0)('=x f 1,1=-=x x若，则),1()1,(+∞--∞∈ x 0)('>x f故在上是增函数；)(x f ),1()1,(+∞--∞和若，则)11(，-∈x 0)('<x f故在上是减函数；)(x f )1,1(-所以是极大值，是极小值。

┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）2)1(=-f 2)1(-=f（2）曲线方程为，点不在曲线上。

x x y 33-=)16,0(A设切点为，则),(00y x M 03003x x y -=由知，切线方程为)1(3)('200-=x x f┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分）))(1(30200x x x y y --=-又点在切线上，有)16,0(A )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得 ，解得 830-=x 20-=x 所以切点为，切线方程为 ┅┅┅┅┅┅ （12分）)2,2(--M 0169=+-y x （20）（本小题满分12分）解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则r h V由，所以222R r h =+)0(,3131)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==ππππ∴，令得 ┅┅┅┅┅┅┅ （6分）2231'h R V ππ-=0'=V R h 33=易知：是函数的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。

R h 33=V∴当时，容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）R h 33=把代入，得 R h 33=222R r h =+R r 36=由得 r R πα2=πα362= 即圆心角时，容器的容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅ （11分）πα362=答：扇形圆心角时，容器的容积最大。

┅┅┅┅ （12分）πα362= (21) （本小题满分12分） 解：解方程组 得：直线分抛物线的交点的横坐标为⎩⎨⎧-==2x x y kxy kx y =2x x y -= 和 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）0=x k x -=1抛物线与轴所围成图形为面积为2x x y -=x┅┅┅┅┅ （6分）61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S由题设得 dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(2┅┅┅┅┅┅┅ （10分）6)1()(3102k dx kx x x k -=--=⎰- 又，所以，从而得： ┅┅┅┅┅ （12分）61=S 21)1(3=-k 2413-=k (22) （本小题满分14分）解：（1）时，函数，且2=b x ax x x h 221ln )(2--=xx ax ax x x h 1221)('2-+-=--=∵函数存在单调递减区间，∴有解。