高二（文科）导数应用题例题：时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出；（2）先建立利润函数模型，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.试题解析：（1）因为时，，代入关系式，得，2分解得. 4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量，6分所以每日销售套题所获得的利润从而. 8分令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，11分所以当时，函数取得最大值. 12分故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用练习题一、单选题1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 62．现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）A. 1mB. 1.5mC. 0.75mD. 0.5m二、填空题3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________ ．4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．三、解答题5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3110v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为2v（米/单位时间），每单位时间用氧量为 1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.（1）求y关于v的函数关系式；（2）求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x－5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k Lx⎛⎫-+⎪⎝⎭，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L. （1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位： cm ）满足关系()()01025kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.10．现有一张长为108cm ，宽为cm a （108a <）的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角上剪下一块边长为()cm x 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为()cm y ，体积为()3cm V . （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）求该铁皮容器体积V 的最大值.高二（文科）导数应用题参考答案1．B【解析】设圆柱的底面半径为r,则高226464h r r ππ==， 则圆柱的表面积22223264128646464642348S r r r r r r r r r r rπππππππππππ=+⋅=+=++++=. 当且仅当264r rππ=，即r=4时，取等号。

∴要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B 选项. 2．A【解析】试题分析:设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是2x 米，高是18849342x x x --=-米，3(0)2x <<则该长方体的体积()9232V x x x x ⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 由V′(x )=0，得到x =1， 且当0<x <1时，V′(x )>0； 当312x <<时，V′(x )<0， 即体积函数V(x )在x =1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x )在定义域上的最大值。

所以该长方体体积最大值时，x =1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m . 故选A. 3．4【解析】设原来神针的长度为，t 秒时神针体积为则，其中。

所以.因为当底面半径为时其体积最大，所以，解得，此时，解得，所以，其中，，当时，，当时，，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，，所以当时，有最小值，此时金箍棒的底面半径为.4．45.6【解析】设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x )＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x )＞0，x ＞10.2时，L ′(x )＜0，∴x ＝10时，L (x )取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元 5．（1）由题意，下潜用时60v（单位时间），用氧量为32603601+1050v v v v ⎡⎤⎛⎫+⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（升），水底作业时的用氧量为100.99⨯=（升），返回水面用时60120=2v v （单位时间），用氧量为1201801.5v v ⨯=（升）， ∴总用氧量()232409050v y v v=++>. （2）()322320006240'5025v v y v v-=-=，令'0y =得3102v = 在30102v <<时， '0y <，在3102v > '0y >，∴函数在(30,102上单调递减，在()3102+∞，上单调递增，∴此时，3v 时总用氧量最少.1026．试题解析：解：(1)设日销售量为s，则s＝，因为x＝40时，s＝10，故10＝，则k＝10e40，所以s＝，故y＝ (x－30－m)(35≤x≤41)．(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.令y′＝10e40·＝0，则x＝31＋m.当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数，所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．7．试题解析：解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．当0<x <12时，P ′(x )>0，P (x )单调递增； 当x >12时，P ′(x )<0，P (x )单调递减． ∴当x ＝12时，P (x )取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．8．试题解析：（1）由题意，当x ＝120时，145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝11.5， ∴ k ＝100.（2）该汽车每小时的油耗为y L ，则y ＝145001005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭(60≤x≤120)． 求导知，函数在区间[]60,120上单调递增min 607x y y ∴==当时取得最小值答： min 607x y y ∴==当时取得最小值升．9．试题解析：（1）当0x =时， ()085kc ==，∴40k =. 由题意知， ()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+.（2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+ ∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=，∴7.5x =.当[)0,7.5x ∈时， ()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时， ()'0f x >，百度文库 - 让每个人平等地提升自我5 当7.5x =时， ()f x 取得最小值.()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元.10．试题解析:（（Ⅰ）由题意得24108x xy a +=， 即21084a x y x-=（0x a ≤<）. （Ⅱ）铁皮容器体积()2221084a x V x x y x x -=== ()311084x ax -+（0x a ≤<）. ()()2131084V x x a +'=-=(34x x -+-，当036a ≤<时，即a ≥，在(]0,a 上， ()0V x ≥'恒成立，函数()V x 单调递增， 此时()()()2max 11084V x V a a a ==-； 当36108a <<，即a <，在(上， ()0V x '>，函数()V x单调递增，在(a ⎤⎦上， ()0V x '<，函数()V x 单调递减，此时()(max 108V x V ==所以()()())23max 31108cm ,036,4{ 108cm ,36108.a a a V x a ≤-<=<<。