高二（文科）导数应用题例题：时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格y （单位：元/套）满足的关系式y =y y ?2+4(y ?6)2，其中2<y <6，y 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求y 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格y 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点） 试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出y =10；（2）先建立利润函数模型y (y )=(y ?2)[10y ?2+4(y ?6)2]=10+4(y ?6)2(y ?2)=4y 3?56y 2+240y ?278(2<y <6)，然后由导数确定函数的单调性，求出函数的最值及条件.试题解析：（1）因为y =4时，y =21，代入关系式y =y y ?2+4(y ?6)2，得y 2+16=21， 2分解得y =10. 4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量y =10y ?2+4(y ?6)2， 6分所以每日销售套题所获得的利润 y (y )=(y ?2)[10y ?2+4(y ?6)2]=10+4(y ?6)2(y ?2)=4y 3?56y 2+240y ?278(2<y <6)从而y′(y )=12y 2?112y +240=4(3y ?10)(y ?6)(2<y <6). 8分 令y′(y )=0，得y =103,且在(2,103)上,，函数单调递增；在(103,6)上，，函数单调递减， 10分 所以y =103是函数在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 11分 所以当y =103≈3.3时，函数取得最大值. 12分 故当销售价格为元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.考点：1.利用导数处理函数的最值；2.函数模型的应用练习题一、单选题1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 62．现有一段长为18m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）A. 1mB. 1.5mC. 0.75mD. 0.5m二、填空题3．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12yy 且以每秒1yy 等速率缩短，而长度以每秒20yy 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12yy 缩到4yy 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10yy 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________yy ．4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．三、解答题5．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3110v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为2v （米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升）.（1）求y 关于v 的函数关系式；（2）求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.6．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．7．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x －5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？8．某辆汽车以x km /h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k L x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数，若汽车以120km /h 的速度行驶时，每小时的油耗为.（1）求k 的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．9．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位： cm ）满足关系()()01025k c x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值.10．现有一张长为108cm ，宽为cm a （108a <）的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角上剪下一块边长为()cm x 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为()cm y ，体积为()3cm V .（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）求该铁皮容器体积V 的最大值.高二（文科）导数应用题参考答案1．B【解析】设圆柱的底面半径为r,则高226464h r rππ==， 则圆柱的表面积2222326412864642348S r r r r r r r r r πππππππππ=+⋅=+=+++=. 当且仅当264r r ππ=，即r=4时，取等号。

∴要使其体积是64π，且用料最省，则圆柱的底面半径为4.本题选择B 选项.2．A【解析】试题分析:设该长方体的宽是x 米，由题意知，其长是2x 米，高是18849342x x x --=-米， 3(0)2x << 则该长方体的体积()9232V x x x x ⎛⎫=⋅⋅-⎪⎝⎭ ， 由V′(x )=0，得到x =1，且当0<x <1时，V′(x )>0；当312x << 时，V′(x )<0， 即体积函数V(x )在x =1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x )在定义域上的最大值。

所以该长方体体积最大值时，x =1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m .故选A.3．4【解析】设原来神针的长度为yyy ，t 秒时神针体积为y (y )，则y (y )=y (12−y )2?(y +20y )，其中0≤y ≤8。

所以y ′(y )=[−2(12−y )(y +20y )+(12−y )2?20]y .因为当底面半径为10yy 时其体积最大，所以10=12−t，解得t =2，此时y ′(2)=0，解得y =60，所以y (y )=y (12−y )2?(60+20y )，其中0≤y ≤8，y ′(y )=60y (12−y )(2−y )，当y ∈(0,2)时，y ′(y )>0，当y ∈(2,8)时，y ′(y )<0，从而y (y )在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，y (0)=8640π，y (8)=3520π，所以当t =8时，y (y )有最小值3520π，此时金箍棒的底面半径为4yy .4．【解析】设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L (x )＝－＋2(15－x )＝－＋＋30.由L ′(x )＝－＋＝0，得x ＝.且当x ＜时，L ′(x )＞0，x ＞时，L ′(x )＜0，∴x ＝10时，L (x )取到最大值，这时最大利润为万元． 答案：万元5．（1）由题意，下潜用时60v （单位时间），用氧量为32603601+1050v v v v ⎡⎤⎛⎫+⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（升），水底作业时的用氧量为100.99⨯=（升），返回水面用时60120=2v v（单位时间），用氧量为1201801.5v v ⨯=（升）， ∴总用氧量()232409050v y v v=++>. （2）()322320006240'5025v v y v v -=-=，令'0y =得3102v =， 在30102v <<时， '0y <，在3102v >时， '0y >，∴函数在()30,102上单调递减，在()3102+∞，上单调递增， ∴此时， 3102v =时总用氧量最少.6．试题解析：解：(1)设日销售量为s ，则s ＝，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝，则k ＝10e 40，所以s ＝， 故y ＝10y 40y y (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)由(1)知y ′＝10e 40·＝10e 40·. 令y ′＝10e 40·＝0，则x ＝31＋m .当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数，所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．7．试题解析：解：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 700x －(460x －5 000)＝－10x 3＋45x 2＋3 240x ＋5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20)．(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x －12)(x ＋9)，由P ′(x )＝0，得x ＝12，x ＝－9(舍去)．当0<x <12时，P ′(x )>0，P (x )单调递增；当x >12时，P ′(x )<0，P (x )单调递减．∴当x ＝12时，P (x )取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．8．试题解析：（1）由题意，当x ＝120时， 145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝， ∴ k ＝100.（2）该汽车每小时的油耗为y L ，则y ＝145001005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ (60≤x≤120)． 求导知，函数在区间[]60,120上单调递增min 607x y y ∴==当时取得最小值 答： min 607x y y ∴==当时取得最小值升．9．试题解析：（1）当0x =时， ()085k c ==，∴40k =. 由题意知， ()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+ ∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=，∴7.5x =.当[)0,7.5x ∈时， ()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时， ()'0f x >，当7.5x =时， ()f x 取得最小值.()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建厚时，总费用最小，最小费用70万元. 10．试题解析:（（Ⅰ）由题意得24108x xy a +=， 即21084a x y x-=（0x a ≤<）. （Ⅱ）铁皮容器体积()2221084a x V x x y x x -=== ()311084x ax -+（0x a ≤<）. ()()2131084V x x a +'=-=(34x x -+-，当036a ≤<时，即a ≥，在(]0,a 上， ()0V x ≥'恒成立，函数()V x 单调递增，此时()()()2max 11084V x V a a a ==-； 当36108a <<，即a <，在(上， ()0V x '>，函数()V x 单调递增，在(a ⎤⎦上， ()0V x '<，函数()V x 单调递减，此时()(max 108V x V == 所以()()())23max 31108cm ,036,4{ 108cm ,36108.a a a V x a ≤-<=<<。