r r r r r r rr、⎰ dt⎰0 dx = ⎰ v e⎰v v1122v v d tv v d tvg 2 g h d tdt [v 2 + ( g t ) 2 ] 12 (v 2 + 2 g h ) 12第一章质点运动学1、(习题 1.1)：一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2 t, y = 4 t 2 - 8 。

（1）求质点 的轨道方程；（2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。

解：（1）由 x=2t 得，y=4t 2-8可得： r y=x 2-8r 即轨道曲线（2）质点的位置 ： r = 2ti + (4t 2 - 8) jr r rr r 由 v = d r / d t 则速度： v = 2i + 8tjr r rr 由 a = d v / d t 则加速度： a = 8 jrr r r r r r r 则当 t=1s 时，有 r = 2i - 4 j , v = 2i + 8 j , a = 8 j r当 t=2s 时，有r = 4i + 8 j , v = 2i +16 j , a = 8 j 2 （习题 1.2）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 a = -kv ， k 为常数．设从原点出发时速度为 v ，求运动方程 x = x(t ) .解：dv = -kvdt v1 v 0 vd v = ⎰ t - k dt 0v = v e - k tdx x= v e -k t0 t0 -k t d t x = v0 (1 - e -k t )k3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a = 4 t (SI)，已知 t = 0 时，质点位于 x 0=10 m 处，初速 度 v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解：a = d v /d t = 4 td v = 4 t d tv 0d v = ⎰t 4t d t v = 2 t 2v = d x /d t = 2 t 2⎰x d x = ⎰t 2t 2 d t x = 2 t 3 /3+10 (SI)x4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； d r d v d v （3）落地前瞬时小球的 ，，.d td td t解：（1）x = v t式（1）v v v y = h - gt 2 式（2）r (t ) = v t i + (h - gt 2 ) j0 （2）联立式（1）、式（2）得y = h -vd r（3） = v i - gt j而落地所用时间t =0 gx 22v 22hgvd r所以 = v i - 2gh jvd vdv g 2t= - g j v = v 2 + v 2 = v 2 + (-gt) 2= =x y 0 0vv v d rv d v 2） v = [(2t )2+ 4] 2 = 2(t 2+ 1)2t t 2 + 1, V a = a - a = m + M m + Mvg gvv v 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2i + 2tj ，式中 r 的单位为 m ， 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

v v v解：1） v = = 2ti + 2 ja = = 2id td t1 1a = t d v d t= 2tt 2 + 1a = na 2- a 2 = 2t第二章质点动力学1、(牛顿定律)质量为 M 的气球以加速度 a 匀加速上升，突然一只质量为 m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。

若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？r解： f 为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图（a ）、(b)可得：F - Mg = MaF - (M + m ) g = (M + m )a1则 a =1 Ma - mg m (a + g )12、 (牛顿定律) 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．证：设两个摆的摆线长度分别为 l 和 l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为 θ 和θ ，摆线中1212的张力分别为 F 和 F ，则12F cos θ -m g = 0① 111F sin θ = m v 2 /(l sin θ )②1 11 111解得：v = sin θ11gl / cosθ11第一只摆的周期为m 12π l sin θl cos θT =11= 2π1111同理可得第二只摆的周期m 2T = 2π l 2 cos θ 22由已知条件知 l cos θ = l cos θ 1 1 2习题 2.1—2.62 ∴ T 1 = T 2（ 量为 m ＝10 g 的子弹以 v ＝500 m/s 的水平速度射穿v,习题 2.1 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F = 400 - 4 ⨯ 10 5 t / 3 ，子弹从枪口射出时的速率为 300m/s 。

设子弹离开枪口处合力刚好为零。

求： 1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量 I ；（3）子弹的质量。

解：（1）由 F = 400 - 4 ⨯ 10 5 t / 3 和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： F = 400 - 4 ⨯ 10 5 t / 3 = 0算出 t=0.003s 。

（2）由冲量定义：I = ⎰ 3Fdt = ⎰ 3（400 - 4 ⨯105 t / 3）d t = 400t - 2 ⨯105 t 2 / 3（3）由动量定理： I = ⎰ 3 Fdt = ∆P = mv = 0.6 N s 0所以：m = 0.6 / 300 = 0.002k g习题 2.2 质量为 M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为 l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质 30 = 0.6 N ⋅ sl物体，刚穿出物体时子弹的速度大小 v ＝30 m/s ，设 ϖ 0mϖ v穿透时间极短．求：M(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；习题 2.2 图(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．解：(1)取子弹与物体为研究对象，子弹前进方向为 x 轴正向， 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此 作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v '有m v 0 = m v +M v 'v ' = m (v 0 - v )/M =3.13 m/sT =Mg+M v 2/l =26.5 N(2)f ∆t = m v - m v = -4.7 N ⋅ s(设 v 方向为正方向)负号表示冲量方向与 v 方向相反．习题 2.3 一人从 10 m 深的井中提水．起始时桶中装有 10 kg 的水，桶的质量为 1 kg ，由于水桶漏水，每升高 1 m 要漏去 0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．kx 2 - m v 2 mv = 2W = 5.34ms -1解：选竖直向上为坐标 y 轴的正方向，井中水面处为原点．由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力 F 等于水桶的重量即：F = P = P - ky = mg - 0.2 g y = 107.8 - 1.96 y人的拉力所作的功为：W = ⎰ d W = ⎰H F d y ＝ ⎰10 (107.8 - 1.96 y)dy=980 J习题 2.4 如图所示，质量 m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数 k 为 20 N/m 的轻弹簧碰撞，木k块将弹簧由原长压缩了 x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的 m滑动摩擦系数μ 为 0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率 v 习题 2.4 图为多少？解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有- f x =r1 12 2而f = μ mgr k木块开始碰撞弹簧时的速率为v =kx 22 μ gx + = 5.83 m sk习题 2.5 某弹簧不遵守胡克定律. 设施力 F ，相应伸长为 x ，力与伸长的关系为F ＝52.8x ＋38.4x 2（SI ）求：(1)将弹簧从伸长 x 1＝0.50 m 拉伸到伸长 x 2＝1.00 m 时，外力所需做的功． (2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长 x 2＝1.00 m ，再将物体由静止释放，求当 弹簧回到 x 1＝0.50 m 时，物体的速率．解：(1) 外力做的功(2) 设弹力为 F ′1 2 m v 2 = ⎰ x 1 F ' ⋅ d x = ⎰ x 1 - F d x = W = 31J x 2 x 2m（（ 解：1 2 2 20 2 = （2） m v 2 = kx 2 + （m + m ）v 2 计算可得： x = x 2 2 2 2 0r r r r r r r r r ⎰ F ⋅ dr =⎰ (7i - 6 j ) ⋅ (dxi + dyj + d zk ) =⎰ -3 7dx -⎰ 4 6dy = -45J ，做负功解：（1） A= = 75W （3）∆E = A + ⎰ -mgj ⋅ dr= -45+ ⎰4 -mgdy = -85Jr r r0 0习题 2.6 两个质量分别为 m 和 m 的木块 A 、B ，用一劲度系数为 k 的轻弹簧1 2连接，放在光滑的水平面上。

A 紧靠墙。

今用力推 B 块，使弹簧压缩 x 然后释放。

（已知 m = m ， m = 3m ）求： 1）释放后 A 、B 两滑 12块速度相等时的瞬时速度的大小； 2）弹簧的最大伸长量。

1 m v2 = kx 2习题 2.6 图m v22 0（m + m ）v所以 v = 1 23 k x4 0 3m1 1 1 12 20 1 23、(变力作功、功率、质点的动能定理)设 F = 7i - 6 j ( N ) （1）当一质点从原点运动到r rr = -3i + 4 j + 16k (m) 时，求 F 所作的功；（2）如果质点到 r 处时需 0.6s ，试求 F 的平均功率；（3）如果质点的质量为 1kg ，试求动能的变化。

r rr r r r rr r r 0A 45（2） P = =t 0.60 0 0rk4、（机械能守恒、动量守恒）如图所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m 小物体，从高 H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底 C 点之后，继续沿水平面平稳地滑行。