2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x >0}，N ={x|x 2−4≥0}，则M ∪N =( )A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞)2. f(x)=√x +4+1x 2−4的定义域为( )A. [−4,+∞)B. {x|x ≥−4且x ≠±2}C. {x|x ≥−4且x ≠2}D. {x|x ≥2}3. 已知f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 27)=( )A. 7B. 74C. 72D. 784. 若函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，f(2)=0，则f(3−x)>0的解集是( )A. (−2,2)B. (−∞,1)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (−∞,−2)∪(2,+∞) 5. 函数f(x)=√x −1+√3−x 的最大值是( )A. 2B. 3C. √2D. √36. 已知函数ℎ(x)为奇函数，且当x >0时，ℎ(x)=x 2+1x ，则ℎ(−1)等于 ( )A. −2B. 0C. 1D. 27. 已知a =(13)3，b =313，c =log 133，则( ) A. a <b <c B. c <b <a C. c <a <b D. b <c <a 8. 已知函数g(x)=f(3x)+x 为偶函数，且f(−9)=4，则f(9)=( )A. −4B. 4C. −2D. 29. 若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x 3−x −1=0的一个近似根(精确度为0，1)为( )A. 1.2B. 1.3125C. 1.4375D. 1.2510. 幂函数y =f(x)的图像过点(8,2√2)，则幂函数y =f(x)的图像是( )A. B. C. D.11.log214=()A. −2B. −12C. 12D. 212.已知a>2，函数f(x)={log a(x+1)+x−2,x>0x+4−(1a)x+1 x≤0，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则()A. ∃a>2，x1−x2=0B. ∃a>2，x1−x2=1C. ∀a>2，|x1−x2|=2D. ∀a>2，|x1−x2|=3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={a−3,2a−1}，且3∈A，实数a=______．14.计算：lg25+2lg2+823=______．15.函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间是______．16.已知函数f(x)=x2+ax+7+ax+1，a∈R.若对于任意的x∈N∗，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|3<2x−1<19}，求：(1)A∪B(2)(∁R A)∩B．18.求函数f(x)=(4−3a)x2−2x+a在区间[0,1]上的最大值．19.已知定义域为R的函数f(x)=3x−a3x+1+b是奇函数．(1)求a,b的值；(2)若f(x)在R上是增函数，求不等式f(2x)+f(x−1)<0的解集．20.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．21.已知a∈R，函数f(x)={1−1x, x>0(a−1)x+1, x≤ 0．(1)求f(1)的值；(2)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)求函数f(x)的零点．22.已知函数f(x)=1．4x+1(1)若函数g(x)=f(x)+a是奇函数，求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1在区间(0,2)上有解，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M ，N ，再利用并集定义求解． 【解答】解：∵集合M ={x|x >0}， N ={x|x 2−4≥0}={x|x ≥2或x ≤−2}，∴M ∪N ={x|x ≤−2或x >0}=(−∞,−2]∪(0，+∞)． 故选：A ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题． 根据二次根式的性质及分母不为0，从而求出x 的范围． 【解答】解：由题意得：{x +4≥0x 2−4≠0，解得：x ≥−4，且x ≠±2， 故选：B ．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题． 先判断与1的大小关系，再代入相应区间的解析式，求出函数值即可．【解答】 解：由于，则， 又由，则，又由，则．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属基础题．关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号，把f(3−x)>0转化为|3−x|>2，从而得解．【解答】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，因为f(3−x)=f(|3−x|)，f(2)=0，由已知得f(3−x)=f(|3−x|)>f(2)，所以|3−x|>2，解得x>5或x<1．故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查求函数的最值，属于基础题．将已知函数平方，可得到一个二次函数，根据二次函数的性质即可得到原函数的最值．【解答】解：函数的定义域为[1,3]，f2(x)=2+2√(x−1)(3−x)=2+2√−x2+4x−3，由二次函数的性质可得当x=2时f2(x)取得最大值，最大值为4，所以f(x)的最大值为2．故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，属于基础题．由奇函数定义得，ℎ(−1)=−ℎ(1)，根据x>0的解析式，求出ℎ(1)，从而得到ℎ(−1)【解答】，解：因为x>0时，h(x)=x 2+1x所以h(1)=1+1=2．又h(x)为奇函数，所以h(−1)=−h(1)=−2．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，为基础题．利用指数函数与对数函数的性质求解即可．【解答】解：由指数函数的性质可得)3∈(0,1)，a=(13b=313>30=1，由对数函数的性质可得，所以c<a<b．故选C．8.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度较小．由g(x)为偶函数，得g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1，从而得解．【解答】解：由题意，因为g(x)为偶函数，且f(−9)=4，所以g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1．所以g(3)=f(9)+3=1，解得f(9)=−2．故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项．【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.25,1.375)中，观察四个选项，与其最接近的是B．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．先利用已知条件求出函数y=f(x)的解析式，再由解析式确定f(x)的图像【解答】解：设f(x)=xα，根据题意有2√2=8α，，则α=12即f(x)=x12，结合选项可知C正确．11.答案：A解析：【分析】本题考查对数运算，属于基础题．【解答】解：log214=log22−2=−2log22=−2．故选A．12.答案：D解析：解：当x>0时，y=log a(x+1)+x−2，令y=0，则有log a(x+1)=3−(x+1)，不妨设其根为x1；当x≤0时，y=x+4−(1a )x+1，令y=0，则有(1a)x+1=3+(x+1)，即a−(x+1)=3−[−(x+1)]，不妨设其根为x2，则有(x1+1)+[−(x2+1)]=3，即：x1−x2=3；同理，若x>0时的零点为x2，x≤0时的零点为x1，则有x2−x1=3，因而答案为D．故选：D．【分析】通过当x>0时，不妨设其根为x1；当x≤0时，不妨设其根为x2，推出x1−x2=3；转化求出结果即可．本题考查函数的零点的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．13.答案：2或6解析：解：∵A={a−3,2a−1}，且3∈A；∴a−3=3时，a=6，A={3,11}，满足条件；2a−1=3时，a=2，A={−1,3}，满足条件；∴a=2或6．故答案为：2或6．根据3∈A，及A={a−3,2a−1}，从而得出a−3=3，或2a−1=3，解出a，并求出集合A，验证是否满足3∈A即可．考查列举法的定义，以及元素与集合的关系，集合元素的互异性．14.答案：6解析：解：原式=lg(25×22)+23×23=2+4=6． 故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析： 【分析】本题主要考查了复合函数的单调区间，以及指数函数及其性质，属于基础题． 根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案． 【解答】解：设u =x 2+2x ，在(−∞,−1)上为减函数，在(−1,+∞)为增函数， 因为函数y =(12)u 是减函数， 所以函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间(−∞,−1)，故答案为(−∞,−1)．16.答案：[13,+∞)解析：解：∵函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，且f (x)≥4，对于任意的x ∈N ∗恒成立 即a ≥−x 2−4x+3x+1=−(x+1)2−6(x+1)+8x+1=−[(x +1)+8x+1]+6令g(x)=−[(x +1)+8x+1]+6，则g(x)≤6−4√2，当且仅当x =2√2−1时g(x)取最大值 又∵x ∈N ∗，∴当x =2时，g(x)取最大值13 故a ≥13即a 的取值范围是[13,+∞) 故答案为：[13,+∞) 根据已知中函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，a ∈R.若对于任意的x ∈N ∗，f (x)≥4恒成立，我们可将其转化为a ≥−[(x +1)+8x+1]+6恒成立，进而将其转化为a ≥g(x)max =−[(x +1)+8x+1]+6，解不等式可得a 的取值范围．本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．17.答案：解：B ={x|3<2x −1<19}={x|2<x <10}，(1)集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|2<x <10}，∴A ∪B ={x|2<x <10}；(2)∁R A ={x|x <3或x >7}，B ={x|2<x <10}，∴(∁R A)∩B ={x|2<x <3或7<x <10}．解析：化简集合B ，根据交集、并集和补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.答案：当a >23时，f(x)max =a ；当a ≤23时，f(x)max =2−2a解析：①当4−3a =0，即a =43时，f(x)=−2x +43在[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a =43②当a >43时，4−3a <0，函数f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x =14−3a <0，则函数f(x)在区间[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a.③当a <43时，4−3a >0，函数f(x)的图像开口向上，对称轴为直线x =14−3a >0当0<14−3a ≤12，即a ≤23时，f(x)max =f(1)=2−2a ；当14−3a >12，即23<a <43时，f(x)max =f(0)=a 。