第十一章 习题答案11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。

解1：（1）静力法首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。

分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下,A sB s M M M M =-=设C 点支反力为C R ，则：12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -=由上二式得()()11142p M l l P l l l *-=-当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。

（2）机动法设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则：11,(2)A C l l l θδθδ==-()1122B A C l l l l δθθθ=+=-外力功e W P δ=内力功()11142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+=-由e i W W =，可得极限载荷上限为()11142s l l P M l l l *-=-由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。

解2：（1）静力法先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ）设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为：()()()212B M x R l x q l x =---在极限状态时，有()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令()0dM x dx=得1()B q l x R -= （1） 而212B s R l ql M -=- （2）()()21112B s R l x q l x M ---= （3）联立解（1）、（2）、（3）得2122s s M qM ql l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得21122s M q l⎡=⎣取较大的值，可得0211.66sM q l ≈ 在以上0q 值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。

（2）机动法 如图（g ）设在A 、C 两点形成塑性铰,2A B C θθθθθ=== 内力功为()23i s s s W M M M θθθ=--+=g 外力功为220124le W q x dx q l θθ**==⎰ 由虚功原理i W W =得：0221211.66s s M M q q l l*=>≈ 该解与完全解的误差为 03%q q q **-≈ 解3：（1）静力法设坐标原点在C 点，此时弯矩方程为：BC 段（02x l ≤≤）21()2c M x R x qx =-AB 段（2l x l ≤≤）11()24c M x R x ql x l ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x ξ=处，M 为极大值，设ξ在BC 段，由()0x dM x dx ξ==得0c R q ξ-= cR qξ=（1）在极限情况下()s M l M =- ， ()s M M ξ=即：238c s R l ql M -=- （2）212c s R q M ξξ-= （3）联立解（1）、（2）、（3）得(21889s M q l=取正号219.2s Mq l=由于此时形成破坏机构，故q 值完全解。

（2）机动法,如图（g ）设此梁在A 和ξ处形成塑性铰，则()00,A C l θωξθωξ=--=，()A B l l ξωθθθξξ=+=-内力功为()0i A A B B C C s l W M M M M l ξθθθωξξ+=++=-外力功为2000l e x l x W q w dx q w dx l ξξξξ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰g g ()220038428()q q l l l ξωωξξξ=+-+- 由虚功原理i W W = 得()8(34)s l q M l l ξξξ+=-由极值条件0dq d ξ=得)122l ξ=代入q 的表达式，则得()q ξ的极小值(2281119.29s s M q M l l=+= 由于此结果满足s s M M M -≤≤，故所得q 的值为完全解的极限载荷。

11.4试用机动法求下列图示板的极限载荷 s P 。

(1)四边简支，边长为a的正方形板，载荷作用在板的中点；(2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用；(3)四边简支矩形板，在板上任意点(,x y)承受集中力的作用．解（a）外力功eW Pw=如破坏时四角可以翘起。

内力功()08i sW M ctg ctg wϕψ=+其中34πψϕ=-代入上式后，得384i sW M ctg ctg wπϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由虚功原理e iW W=得384sP M ctg ctgπϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中ϕ值由0dPdϕ=确定即22113sinsin4πϕϕ-+=⎛⎫-⎪⎝⎭由此得38πϕ=因此316 6.638s sP ctg M Mπ==（b）外力功eW Pw=内力功()02i sW M ctg ctg wαβ=+由e iW W=得()2sP M ctg ctgαβ=+而22a bctg ctgb aαβ==故2422s sa b a bP M Mb a b a⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ）外力功0e W Pw =内力功()401i s i i i W M w ctg ctg αβ==+∑其中11223344,,,,,,y x a x y ctg ctg ctg ctg x y y a xb y a x x b yctg ctg ctg ctg a x b y b y xαβαβαβαβ-====----====---由e i W W =得()41s i i s i b a b a P M ctg ctg M x y a x b y αβ=⎛⎫=+=+++ ⎪--⎝⎭∑11.5使用机动法求图示连续梁的极限载荷。

解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（b ）、（c ）。

若塑性铰在B 、D 处形成，此时外力功12e W P θ=g g 内力功23i s s s W M M M θθθ=⋅+⋅=由e i W W =得6sM P l= 若塑性铰在B 、E 处形成，设E 到C 得距离为x ，此时有()00000,,E B E w w w lw w w l x x l x x l x θθ===+=--- 外力功0022e l lW qlw Pw ==内力功()00i s s w lW M M w l x x l x =⋅+⋅-- 由e i W W =得()2s x lP M x l x +=⋅-令0dPdx=得0.41x l = 将0.41x l =代入P 的表达式11.66sM P l= 比较以上两种可知该梁的极限荷载为6sM P l*= 解2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式：（1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（b ）B 、C 形成塑性铰00003,22C E w w w w l l l lθθ==+=故0003522s i s w w MW M w ll l ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 0e W Pw =由e i W W =得52sM P l=图（c ）E 、F 两点形成塑性铰，此时有00003,222E F w w w w l l l lθθ==+= 故0003222s i s w w M W M w l l l ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0e W Pw =由e i W W =得2sM P l=（2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能：图（d ）在B 、D 、E 三点形成塑性铰，此时有0003,2,2B D E w w w l l lθθθ===()092s i s B D E MW M w lθθθ=++=02e W Pw =由e i W W =得94s M P l=图（e ）在C 、D 、F 三点形成塑性铰，此时000,2,3C D F w w w l l l θθθ===06s i MW w l= 00023e W Pw P w Pw =+⋅=由e i W W =得2s MP l=图（f ）在C 、D 、E 三点形成塑性铰，此时000,2,C D E w w w l l l θθθ===04s i MW w l= 0e W Pw =由e i W W =得4s MP l=（3） 形成三个塑性铰，产生整体破坏，只有一种可能性，如图（g ），此时0003,2,32B D F w w w l l l θθθ===0132s i M W w l =000024e W Pw Pw P w Pw =++⋅=由e i W W =得13 1.6258ss M M P l l== 比较上述六种情况，以（g ）的情况P 为最小，而且此载荷满足s s M M M -≤≤的塑性弯矩条件。

故破坏载荷为 1.625sM P l= 解3：该梁的可能破坏结构与第一题完全相同 若塑性铰在B 、D 处形成12s M P l=若塑性铰在B 、E 处形成11.66s MP l=比较可知梁的极限载荷为11.66s MP l=解4：此梁为一次超静定结构，当形成两个塑性铰时，梁即成为破坏机构，其破坏形式有（b ）（c ）（d ）三种可能。

按图（b ）形式破坏时00,2B D w w l l θθ=-=03s i MW w l= 02e W Pw =由e i W W =得32sM P l=按图（c ）形式破坏时，同上得3sM P l= 按图（d ）形式破坏时002,2E D w w l l θθ==04s i MW w l= 03e W Pw =由e i W W =得 1.33s MP l =比较得 1.33s MP l=11.6试求图示刚架的极限载荷．解（a ）设如图在ACDE 四点形成塑性铰，由e i W W =得222s s s P l P l M M M θθθθθ⋅⋅+⋅⋅=+⋅+ 得 1.5sM P l= 且此值满足s s M M M -≤≤，条件所以 1.5sM P l= 解2：如图设在ACDE 四点形成塑性铰，由B 点到C 点的距离x 待定。

()2122x l x x l δθθδ-===由e i W W =得144222s s x P P M M lδδθθ⋅+⋅⋅=+()22s x x P P M l l l x l δδδδ⎡⎤⋅+⋅=+⋅⎢⎥-⎣⎦化简得()()()42s l x M P l x l x -=-+ 令0dPdx=得 22860x lx l -+=故0.838x l = 1.48sM P l= 解3：如图设在ACDEFG 等处形成塑性铰。

外力功224e W P l Pl Pl θθθ=⋅+=内力功4311i s s s s s s s W M M M M M M M θθθθθθθ=+++++= 由e i W W =得411s Pl M =故 2.75sM P l= 11.7简支圆板半径为R ，受半径为轴对称均布载荷作用，试求其极限载荷．ABCDEFM θr解：圆板的平衡方程为()r r d rM M rQ drθ=+ 当0r =，r M M θ=对应于Tresca 条件的A 点，当r R =时，0,0r M M θ=>，对应于Tresca 条件的B 点，圆板r 从0到R 对应图上的AB 线，即r M M θ=，故平衡方程可写为()r r d rM M rQ drθ=+ 在0r a ≤≤处，存在如下平衡关系：0220rr rQ q rdr ππ+=⎰即212r rQ qr =-平衡方程为()212r d rM M qr dr θ=- 积分上式得2116r C M M qr r θ=-+由0r =处，r M M θ=，所以10C =因此有()2106r M M qr r a θ=-≤≤在a r R ≤≤处0220a r rQ q rdr ππ+=⎰即212r rQ qa =-故此时区域的平衡方程为()212r d rM M qa dr θ=- 积分上式得2212r C M M qa rθ=-+在r a =处连续条件，可得2221162C M qa M qa aθθ-=-+如3213C qa =因此有()321123r a M M qa qa r R rθ=-+≤≤当r R =时，0M θ=如3211023a M qa q rθ-+=得()2632M Rq a R a θ=-此式即为所求的极限载荷。