备注：（1）、按照要求独立完成实验内容。

（2）、实验结束后，把电子版实验报告按要求格式改名（例：09号_张三_实验七.doc ）后，实验室统一刻盘留档。

实验四 时域采样与频域采样一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。

掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样前后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对采样点数选择的指导作用。

二、实验原理在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。

时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。

因此放在一起进行实验。

三、实验内容（包括代码与产生的图形及结果分析）1. 给定模拟信号如下：xa(t)=Ae -αt sin(Ω0t)u(t)式中, A=444.128，α=50 π，Ω0=50 π rad/s ，将这些参数带入上式中，对x a (t进行傅里叶变换，它的幅频特性曲线如图1所示。

现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1 kHz ，300 Hz ，200 Hz 。

观测时间选Tp=64 ms 。

要求： 编写实验程序，计算x 1(n)、 x 2(n)和x 3(n)的幅度特性，并绘图显示。

观察分析频谱混叠失真。

close all;clear all;clc;22图1 x a (t)的幅频特性曲线Tp=64/1000; %观察时间Tp=64毫秒%产生M长采样序列x(n)% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)]subplot(3,2,1);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.');xlabel('n');ylabel('yn');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);%绘图box on;title('(a) Fs=1000Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%========================% Fs=300Hz;T=1/Fs;Fs=300;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)]subplot(3,2,3);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.');xlabel('n');ylabel('yn');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);%绘图box on;title('(a) Fs=300Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%========================% Fs=200Hz;T=1/Fs;Fs=200;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M 点FFT[xnt)]subplot(3,2,5);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.');xlabel('n');ylabel('yn');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);%绘图box on;title('(a) Fs=200Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])2. 频域采样理论的验证。

给定信号如下：编写程序分别对频谱函数X(e j ω)=FT ［x(n)］在区间［0, 2π］上等间隔采样32点和16点，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=其它02614271301)(n n n n nx得到X 32(k)和X 16(k)：再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT ，得到x32(n)和x16(n)：分别画出X(e j ω)、X 32(k)和Ｘ16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x 32(n)和x 16(n)的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。

clearM=26;N=32;n=0:M;xa=0:M/2; xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb] %产生M 长三角波序列x(n) Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N);x16n=ifft(X16k, N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024; %连续频谱图的横坐标取值subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])323232()IFFT[()] , 0,1,2,,31x n X k n == 161616()IFFT[()] , 0,1,2,,15x n X k n == j 322π32()(e ) , 0,1,2,31k X k X k ωω=== j 162π16()(e ), 0,1,2,15k X k X k ωω===k=0:N/2-1; %离散频谱图的横坐标取值subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1; %离散频谱图的横坐标取值subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])四、总结将实验结果与理论结果进行对比，由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓，当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。

频域采样定理的图验证了频域采样理论和频域采样定理。

对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N点IDFT[()NXk]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列。