伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：一 命题教师：一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C dz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）二、填空题（4x5=20分）1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__________。
3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n zze _____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、.))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z2、求).,1(Res 2i z e iz+ 3、.62lim n n i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ 4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0154=+-z z ，在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：二 命题教师：一、判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。
（ ）2、有界整函数必为常数。
（ ）3、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )4、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。
（ ）5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ）6、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ ）7、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ）8、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。
（ ）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。
（ ）10、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。
（ ）二、填空题（4x5=20分）1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________。
2、设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________。
3、若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________。
4、=+z z 22cos sin _________。
5、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、.cos 11||⎰=z dz z 2、求).,1(Res 2i z e iz-+3、nn i i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121。
4、求)2)(1(1)(--=z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。
伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：三 命题教师：一、判断题（3x10=30分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。
（ ）2、若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续。
（ ）3、如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
( ) 4、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ）5、若函数f (z )=u (x ,y )+ iv (x ,y )在D 内连续，则二元函数u (x ,y )与(x ,y )。
（ ）6、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。
（ ）7、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ）8、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）9、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。
（ ）10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数。
（ ）二、填空题（2x10=20分）1、设11)(2+=z z f ，则)(z f 的定义域为__________。
2、设C iy x y x i xy x z f ∈+∀+-++=),sin(1()2()(222，则)(lim 0z f z z →__________。
3、=+z z 22cos sin ___________。
4、设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点。
7、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是内D _________。
、8、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
9、=)0,(Res n zze ____________，其中n 为自然数。
10、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________.三、计算题（8x5=40分）：1、设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 2、求⎰⎰==+--+3||1||1)4)(1(21sin z z z z z dz i zdz e π。
3、设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s 4、求函数z e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。
5、求复数11+-=z z w 的实部与虚部。
6、求.212122⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+i i 四、证明题（6+7+7=20分）：1、若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。
2、若数列}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
3、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析。
伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：四 命题教师：一、判断题（3x10=30分）：1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）2、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）3、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z )的可去奇点。
( ) 4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。
（ ）5、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C dz z f 。
（ ）。
6、若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。
（ ）7、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。
（ ）8、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 。
（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。
（ ）10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数。
（ ）二、填空题（2x10=20分）1、若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________。
2、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-⎰C ndz z z )(10__________。
3、函数z sin 的周期为___________。
4、函数e z 的周期为__________。
5、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________。
6、幂级数∑∞=0n n nx 的和函数为__________。
7、若函数f (z )在整个平面上处处解析，则称它是__________。
8、若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z n n ...lim 21______________。
9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。
10、函数211)(zz f +=的幂级数展开式为_________。
三、计算题（5x6=30分）：1、.62lim nn i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ 2、设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的洛朗展开式。
3、设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s 4、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式。
5、求函数63sin zz 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。
6、求复数11+-=z z w 的实部与虚部。
四、证明题（6+7+7=20分）1、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞→)(lim ，试证： ))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞→。
2、若整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则)(0)(C z z f ∈∀≡。