一元二次方程概念、解法、根的判别式（讲义）一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成_______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：________________，________________，_____________，_____________等．4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②2110x x+-=； ③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________．4. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是________． 10. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=；解：22____x x -=，22___1___x x -+=+，()2___________=，_______=_____， x =∴1x = ，2x =（3）23920x x -+=； （4）24810x x --=；（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=；解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. 用分解因式法解方程： （1）(54)54x x x +=+； （2）(1)(8)12x x ++=-；解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0， ∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+； （4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具． 例 解方程：42320x x -+=． 解：设2y x =，则2320y y -+=， 解得，11y =，22y =． 当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =，4x =故原方程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1. 一个未知数x ；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；整式方程、化简整理、一元二次．2. 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；一般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. 一元一次方程；直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法．4. 完全平方；240x b ac ）=-≥；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）； 分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．5. 24b ac -；24b ac -；Δ；Δ>0；Δ=0；Δ<0． 二、精讲精练1．④⑤； 2．22x ，1-； 3．1-； 4．C ； 5．C ；6．C ；7．A8．1；9．210．（1）2210x x --= 解：221x x -=，22111x x -+=+，()212x -=，1x -=，1x =±∴1x =121x =．（2）1x =，2x =．（3）196x =，2x =．（4）122x =，222x =．（5）12b x a -=，22b x a--=（24b ac -≥0）．11．（1）23100x x +-= 解：a =1，b =3，c =-10， ∵24b ac -=()23410-⨯-=49>0∴ 3 2x -==3 72-± ∴1x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =． （3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．12．（1）(54)54x x x +=+ 解：( 1 )(54)0x x -+=，1x -=0或54x +=0，∴1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-． （3）113x =-，25x =-．（4）1x =2x =． （5）11k x k+=，21x =． 13．222(5)2(5)240x x x x +-+-= 解：设25y x x =+，则22240y y --= 解得：1264y y ==-，当256x x +=时，1261;x x ，=-= 当254x x +=-时，3414;x x ，=-=-故原方程的解为12346114x x x x =-==-=-，，，概念、解法、根的判别式（随堂测试）1. 已知关于x 的方程22(1)40m m mx m x -+---=是一元二次方程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，则代数式23a a -=————．3. 用你认为合适的方法解方程： （1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．【参考答案】1．12．53．（1）12x =22x =（2）11x =-，223x =； （3）12x =-，24x =；（4）12x =，223x =-．概念、解法、根的判别式（作业）1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．32. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（ ） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 关于x 的方程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是一元二次方程的是____________．5. 方程(1)(21)2x x -+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．7. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____． 8. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 10. 用配方法解方程： （1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. 用公式法解方程： （1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. 用分解因式法解方程： （1）(1)(2)24x x x ++=+； （2）(2)(3)12x x --=．13. 用你认为合适的方法解方程： （1）2240x x --=； （2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具． 例 解方程：3234120x x x --+=． 解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---= 2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解方程：3244160x x x +--=．【参考答案】1．B2．C3．B4．③④⑥5．2230x x --=，22x ，1-，3-6．1m ≠±，=1m -7．28．12213x x ==-，9．k >-1且0k ≠10．（1）1222x x =+=-（2）12x x ==．11．（1）121122x x ==；（2）12x x == 12．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；13．（1）1211x x ==（2）12x x ==； （3）1247x x ==-，；（4）1211m x x m-==，； 14．123224x x x ==-=-，，．一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ） A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________．7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）2212x x +．解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ⋅= ． （1）原式== =9. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．10. 如图，在一块长92 m ，宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m 2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）【分析】解：Array三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________一、知识点睛1. b ca a，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②面积型；③经济型． 二、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原方程知： a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵ ∴122x x +=-，1232x x ⋅=-．（1）原式121224332x x x x +-===-； （2）7 9．5m = 10．水渠应挖1m 宽．11．50x -（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．一元二次方程根与系数关系及应用题（随堂测试）1. 先验证方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ，然后不解方程，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）2212x x +．2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？ 【分析】解：【参考答案】1．∵2Δ(4)42(1)240=--⨯⨯-=>，∴方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ．（1）52；（2）5；2．这种台灯的销售单价应定为50元．一元二次方程根与系数关系及应用题（作业）1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x %，则所列方程为_______________．2. 小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．3. 一种商品经连续两次降价后，价格是原来的14，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为_______________． 4. 若1x ，2x 是一元二次方程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ⋅的值分别是_____________．5. 若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是_______________．6. 设1x ，2x 是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）221212x x x x +；（3）1211x x +；（4）212()x x -．7. 某市为争创全国文明卫生城市，2012年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2014年投入的资金是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投入多少万元？8. 小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一9. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提高多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？10. 汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？【参考答案】1．2173(1%)127x -=2．()()5028025400x x ++=3．50%4．5433-，5．4158a <≤． 6．（1）53-； （2）43； （3）3； （4）203．7．（1）10%； （2）2 928.2万元．8．方案一中2x =，方案二中2x =．9．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10．每千克这种水果盈利了15元．二次函数表达式、图象、性质及计算（讲义）一、知识点睛1． 一般地，形如__________________（_______________）的函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质：①一般式___________________通过_____________可推导出顶点式_____________．②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_________时，函数有最_____值，是____________；当a_________时，函数有最_____值，是____________．④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而__________．⑤a ，b ，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______．b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________．二、精讲精练1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号）①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+；④222y x =+；⑤2y x =-；⑥231252y x x =-+；⑦215s t t =++；⑧220x y -+=．2. 若函数72)3(--ax a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3B ．3C ．±3D ．53. 二次函数221y kx x =++（k < 0）的图象可能是（ ）B ．C ．D ．4. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ． 5. 在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx 2+2x +2（m 是常数，且m≠0）的图象可能．．是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 将抛物线y =x 2-2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是-7__________________．7. 抛物线y =(x +2)2-3可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8. 抛物线2y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =-+，则b ，c 的值为（ ）A ．b =2，c =3B ．b =2，c =6C ．b =-2，c =-1D ．b =-3，c =29. 如图，将抛物线2(1)7y x =+-沿x 轴平移，若平移后的抛物线经过点P (-2，2)，则平移后的抛物线解析式为（ ） A ．2(5)7y x =+-B ．2(5)7y x =+-或2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =++D ．2(5)7y x =+-或2(1)7y x =--10. 抛物线y=2(x+m )2+n （m ，n 是常数）的顶点坐标是_______；cbx ax y ++=2的顶点坐标是_____________（用含a ，b ，c 的代数式表示）；2241y x x =-++的顶点坐标是__________，有最______值，是________．11. 已知抛物线2115322y x x =---，将它配成顶点式为_________，对称轴是直线______，顶点坐标为__________，当_______时，y 随x 的增大而减小，当x =_________时，y 有最____值，是_________．12. 抛物线2112y x =-开口向_____，对称轴是_______________，顶点坐标是_____________，当x =_______时，y 有最_____值，是_______．13.（1）已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为______________________，由题意得：解得：∴二次函数的解析式为______________________．（2）已知二次函数的图象经过A(-4，0)，B(2，0)，C(1，-5)三点，求此二次函数的解析式．14.（1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，求此二次函数的解析式．解：依题意可设这个函数的解析式为__________________，∵这个函数的图象经过点_____________，∴_________________________________，解得：__________________，∴二次函数的解析式为__________________．（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．15. 已知抛物线2145333y x x =-++．（1）把它配方成顶点式的形式；（2）写出它的顶点M 的坐标、对称轴和最值；（3）求出图象与x 轴的交点A ，B （点A 在点B 的左侧）的坐标，与y 轴的交点C 的坐标；（4）作出函数图象，根据图象指出x 取什么值时y > 0； （5）若该抛物线上两点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)的横坐标满足 0 < x 1 < x 2 < 2，试比较y 1与y 2的大小．y三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1. 2y ax bx c =++，（a ，b ，c 为常数，a ≠0）2. ①2y ax bx c =++，配方法，224(+)24b ac b y a x a a-=+．②抛物线，轴对称，直线2b x a =-， (2ba-，24)4ac b a -． ③0a >，小，244ac b a -；0a <，大，244ac b a -．④0a >，2b x a <-，减小，2bx a >-，增大；0a <，2b x a <-，增大，2bx a>-，减小．⑤0a >，上；0a <，下．y 轴，纵坐标．左同右异，对称轴．3. ①点的平移，坐标．②左加右减、上加下减．顶点式． 二、精讲精练 1．①③⑤⑦⑧ 2．A3．C4．D 5．D6．21027y x x =-+7．B8．B9．D10．(m -，)n ；(2ba-，24)4ac b a -；(1，3)，大，3． 11．21(3)32y x =-+-，x=-3，（-3，-3），3x >-，-3，大，-312．下，y 轴，(0，1)，0，大，1． 13．（1）223y x x =--+ （2）228y x x =+- 14．（1）23(1)3y x =--- （2）2(1)4y x =+-15．（1）21(2)33y x =--+．（2）M (2，3)，对称轴为直线x =2，当x =2时，y 有最大值3．（3）A (-1，0)；B (5，0)；C (0，53)．（4）函数图象略，当15x -<<时0y >． （5）12y y <．二次函数表达式、图象、性质及计算（随堂测试）1. 已知抛物线21212y x x =+-，将它配成顶点式为___________， 图象的对称轴是直线____________，当___________时，y 随x 的增大而减小，顶点坐标为___________，当x =_______时，y 有最______值，是___________．2. 已知反比例函数ky x-=的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 把二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为245y x x =-+，则有（ ） A ．b =-10，c =24 B ．b =2，c =4C ．b =-10，c =28D ．b =2，c =04. 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且图象经过点 (1，0)，求该二次函数的解析式．（要求书写过程）【参考答案】1．21(2)32y x =+-，x =-2，2x <-，(-2，-3)，-2，小，-32．B 3．B4．223y x x =+-，过程略二次函数表达式、图象、性质及计算（作业）1. 已知点(a ，8)在二次函数y =ax 2的图象上，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．2. 若23(2)m y m x -=-是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）A． B． CD ．0 3. 若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过坐标原点，则m 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定4. 在同一平面直角坐标系中，作函数222y x =+，221y x =--，212y x =的图象，则它们（ ）A ．都关于y 轴对称B ．顶点都在坐标原点C ．都是开口向上的抛物线D ．以上都不对5. 下列二次函数中，图象以直线2x =为对称轴，且经过点 (0，1)的是（ ）A ．2(2)1y x =-+B ．2(2)1y x =++C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+- 6. 抛物线222y x x =+-的图象最低点的坐标是（ ）A ．(2，-2)B ．(1，-2)C ．(1，-3)D ．(-1，-3)7. 小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面的六个结论：①0a <；②0c =；③函数的最小值为-3；④当0x <时，0y >；⑤当1202x x <<<时，12y y >；⑥对称轴是直线x =2．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个第7题图 8. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，0b <，0c >B ．0a <，0b <，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b >，0c >9. 反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数 222k x kx y +-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10. 函数y kx k =+和函数244y kx x =-++（k 是常数，且k ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 抛物线2y ax bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b ，c 的值为（ ） A ．b =2，c =2 B ．b =2，c =0 C ．b =-2，c =-1D ．b =-3，c =212. 函数294y x =-的顶点坐标为___________，当x =______时，y 有_______值，是__________；当x ________时，y 随x 的增大而减小．13. 函数21213y x x =-++，当x ___________时，y 随x 的增大而减小．14. 抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标是(-1，4)，则b =_____，c = _______．15. 用配方法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标． （1）242435y x x =++； 解：配方： ∴对称轴为直线_______，顶点坐标为_________．由y=0得方程_________________， 解方程得_______________． ∴与x 轴的交点坐标为_________．（2）221218y x x =-+-．16. 用公式法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标、最值． （1）221213y x x =-+；（2）21212y x x =--． 解：∵2ba-=___________， 244ac b a-=______________， ∴对称轴为直线_________， 顶点坐标为_____________， 当x =_____时，y 有_____值， 是__________．17. 已知二次函数经过(1，2)，(3，0)，(-2，20)三点，求该二次函数的解析式．18. 二次函数图象的顶点坐标是(-2，-3)，且过点(1，9)，求此二次函数的解析式．19.已知抛物线222y x x=-++．（1）该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是_________；（2）选取适当的数据填入下表，并在下面的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（31122121x>，试比较y1与y2的大小．x【参考答案】1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D7．D8．D 9．D10．D 11．B 12．(0，9)，0，大，9，>013．>314．-4，215．（1）对称轴：x =-3，顶点坐标：(-3，-1)，与x 轴交点坐标：50)2(-,，70)2(-,（2）对称轴：x =3，顶点坐标：(3，0)，与x 轴交点坐标：(3，0)16．（1）3，-5，x =3，(3，-5)，3，小，-5 （2）对称轴：x =2，顶点坐标：(2，-3)，最小值：-317．256y x x =-+18．24167333y x x =++ 19．（1）直线x =1，(1，3) （2）略 （3）12y y <二次函数每日一练（一）1. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ）A ．ky x =，2y kx x =- B ．ky x =，2y kx x =+C ．ky x =-，2y kx x =+D ．ky x =-，2y kx x =-2. 在同一平面直角坐标系中，函数b ax y -=2与y ax b =+（a ，b ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过A (1，2)，B (3，2)，C (0，-1)，D (2，3)四点，且点P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )也在该函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y ≥B ．12y y >C ．12y y <D ．12y y ≤4. 若A (1134y -，)，B (254y -，)，C (314y ，)为二次函数y =x 2+4x -5 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<5. 已知22y x =的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式为____________________．6. 在平面直角坐标系中，将抛物线26y x x =--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为__________．7. 如果抛物线221y ax x =-+与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点在第____象限，a 的取值范围是_______________．8. 已知二次函数2()1y x m =--，当x ≤3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________．9. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x轴的一交点为A (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2+bx+c <0的解集是__________．第9题图 第10题图 10. 如图，抛物线y =-x 2+2x +m （m < 0）与x 轴相交于点A (x 1，0)，B (x 2，0)，点A 在点B 的左侧．当x =x 2-2时，y ______0． （选填“>”、“=”或“<”）11. 如图，抛物线y =x 2-2x +k （k <0）与x 轴相交于点A (x 1，0)，B (x 2，0)，其中x 1<0<x2，当x =x 1+2时，y _____0．（选填“>”、“=”或“<”）第11题图 第12题图 12. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为________．【参考答案】1．B 2．C3．C 4．B5．2286y x x =++ 6．27．一，a ＞1 8．m ≥3 9．13x -<<10．<11．<12．3二次函数每日一练（二）1. 已知函数22(1)13(5)13x x y x x ⎧--=⎨-->⎩≤（）（），则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32. 如图，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线2()y a x m n =-+的顶点在线段AB 上运动（抛物线随顶点一起平移），与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．若点C 的横坐标的最小值为3-，则点D 的横坐标的最大值为（ ） A ．3-B ．1C ．5D ．8第2题图 第3题图3. 如图，一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，其顶点P 在折线CD -DE 上移动，若点C ，D ，E 的坐标分别为(-2，8)，(8，8)，(8，2)，点B 的横坐标的最小值为0，则点A 的横坐标的最大值为_____________．4. 设一元二次方程(3)(5)x x k --=（0k <）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β，3，5之间的大小关系为___________；(3)(5)x x k --<的解集为_________________．5. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A (-1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间（包含端点）．下列结论：①当3x >时，0y <； ②30a b +>；③213≤≤a --；④ 3≤n ≤4．其中正确的是__________．6. 如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 且平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限），抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移该抛物线，使其经过点A ，D ，则平移后的抛物线的解析式为__________________．第6题图 第7题图7. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上，且四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n -1B n A n C n 都是菱形．若∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3=…=∠A n -1B n A n = 60°，则菱形A n -1B n A n C n 的周长为____________．8. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②a -b +c <0；③8a +c >0；④2c >3b ；⑤a +b <m (am +b )（m 为实数，且m ≠1）．其中正确的是_______．【参考答案】1．D2．D3．7 4．3<α<β<5，α<x <β 5．①③ 6．29922y x x =-+7．4n8．①②③⑤二次函数图象性质应用一、知识点睛___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段．①二次函数对称性：两点对称，则______相等；纵坐标相等，则两点______；由(x 1，y 1)，(x 2，y 1)知，对称轴为直线_________．②二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用__________，借助____________求解．③方程的根是对应的两个____________交点的____________． 特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当Δ>0时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当Δ=0时，与x 轴有_____个交点；当Δ<0时，与x 轴______交点．二、精讲精练1. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则当x A ．5B ．-3C ．-13D ．-272. 抛物线y=ax 2+bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是_________．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线12x =； ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．3. 已知二次函数2248y x mx m =-+-，若2x ≥时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________；若x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_________．4. 已知二次函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且2133x x x <<-<，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．213y y y >>B ．213y y y <<C ．321y y y >>D ．321y y y <<5. 若A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>6. 已知二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象如图所示，当50x -≤≤时，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值-5，最大值0B ．有最小值-3，最大值6C ．有最小值0，最大值2D ．有最小值2，最大值67. 已知y=x 2+(1-a )x +1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x =1时取得最大值，则实数a 的取值范围是______________． 8. 已知二次函数y =x 2-4x -3，若16x -≤≤，则y 的取值范围是____________；若-3≤ x < 4，则y 的取值范围是___________；若-2 < x ≤1，则y 的取值范围是__________________．9. 已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为1y ，2y ，则1y _____0，2y _____0．（选填“>，<”）10. 函数2y x x m =-+（m >0）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ） A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m =11. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数的图象与抛物线交于B ，C 两点．（1）二次函数的解析式为____________________． （2）当x =_________时，一次函数值等于二次函数值；当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）当________时，两函数的函数值都随x 的增大而增大． （4）当________时，两函数的函数值之积小于0．12. 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若m x x y ++=22的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．13. 二次函数22--x x y =的图象与x 轴的交点坐标为________，一元二次方程220x x =--的根为______________________；不等式x 2-x -2 > 0的解集为____________________．14. 一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为______________________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为____________，不等式-x 2+8x -12>3的解集为___________________．15. 已知函数22(2) 4 5=(8) 4 5x x y x x ⎧--⎪⎨-->⎪⎩≤（）（），且使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为_________．16. 设一元二次方程(1)(2)x x m --=（m >0）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ） A ．12αβ<<< B ．12αβ<<< C ．12αβ<<<D ．1α<且2>β三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛 1．数形结合．①纵坐标；对称；122x x x +=． ②增减性，函数图象． ③函数图象，横坐标．2y ax bx c =++，x 轴，两，一，无． 二、精讲精练 1．D2．①③④3．2m ≤，1m ≥ 4．A 5．A6．B7．5a ≥8．79y -≤≤，718y -≤≤，69y -≤< 9．<，< 10．C11．（1）223y x x =--． （2）0或3；03x <<． （3）x 1>． （4）x 1<-． 12．1，二，1m >13．(-1，0)，(2，0)；11x =-，22x =；1x <-或2x >． 14．13x =，25x =；(3，3)，(5，3)；35x <<． 15．5 16．D二次函数图象性质应用（随堂测试）1. 已知抛物线2y ax bx c =++（0a <）经过A (2，0)，O (0，0)， B (3-，1y ),C (3，2y )四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y < D ．不能确定2. 已知二次函数y =x 2-4x +a ，下列说法错误的是（ ） A ．当x <1时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a =3时，不等式x 2-4x +a <0的解集是1<x <3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a =3 3. 已知二次函数y =x 2-6x -1，若47x ≤≤，则y 的取值范围是___________；若14x -<≤，则y 的取值范围是_________．【参考答案】1．C2．D3．96106y y <--，≤≤≤二次函数图象性质应用（作业）1. 如图，已知抛物线2=++y x bx c 的对称轴为直线2x =，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为 (0，3)，则点B 的坐标为（ ）A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(4，3)第1题图 第2题图 2. 抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ） A ．14<<-x B ．13<<-x C ．4x <-或1>xD ．3-<x 或1>x3. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知此图象经过(-1，1)，(2，-1)两点，下列关于此二次函数的叙述，正确的是（ ） A ．y 的最大值小于0 B ．当x =0时，y 的值大于1 C ．当x =1时，y 的值大于1 D ．当x =3时，y 的值小于0-1)1)O xy (-1，(2，-13321O yx第3题图 第4题图4. 二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值-1，有最大值0C ．有最小值-1，有最大值3D ．有最小值-1，无最大值5. 已知二次函数2122y x x k =--+，设自变量的值分别为1x ，2x ，3x ，若11x =-，21x =，34x =，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<6. 已知抛物线2y ax bx c =++（0a <）过A (2-，0)，O (0，0)，B (3-，1y )，C (3，2y )四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y <D ．不能确定7. 函数222y x x =--的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） A ．13x -≤≤B ．31<<-xC ．13x x <->或D ．1x -≤或3x ≥ 8. 设一元二次方程(3)(4)x x m --=（0m <）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ） A ．34αβ<<< B ．34αβ<<< C ．34αβ<<<D ．3α<且4β>-33214321-2-1-1O -2x y9. 抛物线y =-ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：10. 已知二次函数m x xy ++=2的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．11. 若关于x 的一元二次方程20x x n --=无实数根，则函数n x x y --=2的图象顶点在第_________象限．12. 已知二次函数y =-x 2-4x -3，若-5≤ x ≤3，则y 的取值范围是_________；若-1≤ x < 2，则y 的取值范围是____________； 若-6 < x ≤1，则y 的取值范围是_________．13. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．14. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：。