代数问题选讲
（湖南师范大学数学与计算机科学学院 吴仁芳 410081）
1． 已知n a a a ,,,21 是任意正实数,且满足121<+++n a a a .证
明:1111211
)1()1)(()1(+≤--++---n n n n n n
a a a a a a a a a .（IMO-39预选试题）
2． 设
n
为正整数,证明
:当
2
≥n 时,有
11
1)1
)(1(1211]1)1[(---<+++<-+n n
n
n n n n n .
3． 数列n a a a ,,,10 满足)1,,2,1,0(1,21210-=+==+n k a n
a a a k k k ，证明：
11
1<<-
n a n
.(1980年芬兰、英国、匈牙利和瑞典四国数学奥林匹克试题) 4． 设
C
B A ,,分别是复数ci z bi z ai z +=+==1,2
1,210对应的不共线的三点
(
c
b a ,,都
是
实数).证明:曲线
)(s i n s i n c o s 2c
o s 422
214
0R t t z t t z t z z ∈⋅+⋅+⋅=与ABC ∆中平行于AC 的中位
线只有一个公共点,并求出此点. (2003全国高中联赛试题) 5． 设平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列}{n A 与曲线
)0(2≥=x x y 上的点列}{n B 满足n
OB OA n n 1
||||=
=，直线n n B A 在x 轴上的截距n a ，点n B 的横坐标为*∈N n b n ,.（Ⅰ）证明*+∈>>N n a a n n ,41.（Ⅱ）证
明有
*
∈N n 0，使得对任意
n n >，都有
20041123
12-<+++++-n b b b b b b b b n
n n n .(2004全国高中联赛试题)
6． 试问：当且仅当实数)2(,,10≥n x x x n 满足什么条件时，存在实数
n y y y ,,,10 ，使得2222120n z z z z +++= 成立.其中i iy x z k k k ,+=为虚数单
位，n k ,,2,1,0 =.证明你的结论.（1997年全国高中联赛试题）
7． 实数c b a ,,和正数λ使得c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321,,x x x ,且
满足)(21)2(;)1(21312x x x x x +>=-λ.求3
39272λ
ab
c a -+的最大值. (2002全国高中联赛试题)
8． 求使下列两式⎪⎩⎪⎨⎧-++>++<+++-⋅+-⋅2
222
22210
5)1(8)cos(8)(2cos 2b
b y bx y x b b b y x b y x b 对任何实数y x ,都成立的一切b 值.
9． 求最小正数λ，使得对于任意三角形的三边长c b a ,,，只需3
c
b a +≥
，就有)423(2222bc ab c b a c bc ac -+++≤-+λ.(1993年中国国家队测验试题)
10． 设]2,1[,,,,,,,2121∈n n b b b a a a ,且∑∑===n
i i
n
i i
b a 1
212
.求证:∑∑=≤n i i i i a b a 12
31017并
问等号成立的充要条件. (1998全国高中联赛试题)
11． C B A c b a ,,,,,是6个正实数，使得方程02=+-c bx ax 和02=+-C Bx Ax 有
实根.求证在方程02=+-c bx ax 的两实根之间的任一实数u 与在方程
2=+-C Bx Ax 的两实根之间的任一实数v 有下述不等式:
2
)2
())((B b v C u c Av au +≤++.（1994
年罗马尼亚数学奥林匹克试题）
12． m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987.对
于所有这样的m 和n ，3m+4n 的最大值是多少？请证明你的结论.（CMO-2试题） 13． 实
数
2
21,,,x x x 满足
2
0|-|20001
1k k
=∑=+k x x
，令
2
001,,2,1),(1
21 =+++=k x x x k
y k k .求∑=+-20001
1||k k k y y 的最大可能值.(2001
年上海市竞赛试题)
14．
k 是一个实数，对于任意实数x ，令1
1
)(2
424++++=x x kx x x f .(1)求)(x f 的最大值和最小值.(2)求所有实数k ，使得对每三个实数b a ,和c ，存在一个三角形，具有边长)(),(b f a f 和)(c f .(1994年保加利亚奥林匹克试题) 15． 已知正实数z y x ,,满足
211
11112
22=+++++z y x .求证：5
6
1112
22222≤+++++x z zx z y yz y x xy .（《中等数学》2010年第6期奥林匹克问题试题）
16． 已知对于一切正整数n ，∏=+≥-+
n
i n k
i 138192
)1311(都成立.试求k 的最大值.
17． 设n x x x ,,,21 与n a a a ,,,21 是满足条件：（1）;01
∑==n
i i x ；（2）∑==n
i i x 1
1||；
（3）n n a a a a a >≥≥≥121, 的任意两组实数.对于任意的2≥n ，试求使不等式)(||11n n
i i i a a A x a -≤∑=恒成立的A 的取值范围.
18． 如果)(x p 是一个n 次多项式，且对n k ,,2,1,0 =，有1
)(+=
k k
k p ，试确定)1(+n p .
19． 将多项式1)(78++=x x x f 在整数范围内分解因式.
20． 设实数多项式n n n a x a x x f +++=- 11)(的根为实数)2(,,,21≥n b b b n ，试
证：对于n
n b x b x b x n x f b b b x -++-+-≥+≥1
112)1(),,,,max(212
21 .
21． 给定复系数多项式n n n c z c z c z f +++=- 110)(，试证：存在复数0z ，适
合1||0≤z ,且|||||)(|00n c c z f +≥.。