定理5 设(X1，X2，…，Xn1) 和 (Y1，Y2，…，Yn2)
分别是来自正态总体N(1 ，2) 和 N(2 ，2)的样本，
且它们相互独立，则统计量
T
X
Y Sn
(1 2)
1 n1
1 n2
~
t(n1
n2
2)ห้องสมุดไป่ตู้
其中Sn
(n1
1)S12 n1
(n2
n2 2
1)S22
,
S12、S
2 2
分别为两总体的样本方差。
的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3： 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1)
样本均值 X与样本方差S 2相互独立； n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4
其图形随自由度 n 的不同而有所改变.
性质1： 2分布的数学期望与方差
设 X～2 n ，则E( X ) = n，D( X) = 2n.
性质2： 2分布的可加性
设 X1 ~ 2(n1), X 2 ~ 2(n2), 且 X1 , X 2 相互独立， 则 X1 X 2 ~ 2(n1 n2)
证明： 由已知，有
Xi ～ N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
则
Xi
~
N(0,
1) ，且各 Xi 相互独立，
由定义1 :得
n
2
n i1
Xi
2
(Xi
i 1
2
)2
~
2(n).
定理3 : 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立；
(5.10)
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证明：由例知 X Y (1 2 ) ～N (0,1)
2 2
n1 n2
三大抽样分布是后面各章的基础。
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2(卡方) — 分布
定义1: 设总体 X ~ N 0, 1 , X1, X2, ... , Xn 是 X 的
一个样本，则统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
的概率密度函数为
f
(
x)
2
n 2
1 (
n
)
x
n 2
1
e
x 2
的点2 (n)为 2 (n)分布的上侧 分位点。
其几何意义见图5-5所示. f(x)
其中f(x)是 2分布的概率密度。
显然，在自由度n取定以后， O
2(n)的值只与 有关。
2(n) x
图5-5
例如：当 n = 21， = 0.05 时，由附表3可查得，
02.05(21) 32.67，即 P 2(21) 32.67 0.05.
性质3：设 X～ 2 n, 则对任意实数 x 有
lim
P
X
n
x
1
x t2
e 2 dt
n 2n
2
这个性质说明当n 很大时，自由度为n 的 2分布趋
于正态分布N（n, 2n）.
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
n
(Xi )2
的样本，则 i1
2
~ 2(n)
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第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布
t 分布 F分布
数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2 分布、
t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用。
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
n
(Xi )2
X～N( ， 2)的样本，则 i1 2
~ 2(n)
2分布的上侧分位点
定义2：设 X～ 2 (n), 对于给定的正数（0 1 ）, 称
满足条件
P
X 2 (n)
f (x)dx
2 (n)
的概率密度函数的图象。
当 n 较大时， t 分布近似于标准正态分布。
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定理4
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则统计量
T X ～t(n 1)
S/ n
证： 由于 X 与S 2相互独立，且
n
(2)
(n 1)S2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
(4.1)式的自n 由度为什么是n-1？
从表面上看， (Xi X)2是n个正态随机变量 X i X 的平方和，
但实际上它们不i是1 独立的，它们之间有一种线性约束关系：
n
n
(Xi X) Xi nX =0
这表明，当这i1个n个正态随机i变1 量中有n-1个取值给定时，剩下
x
0
2
0 x 0
其中(t) xt1exdx(t 0)为函数。 0
称统计量
2
X12
X
2 2
X
2 n
服从自由度为
n
的 2分
布，记作 2 ~ 2 (n).
注：自由度是指独立随机变量的个数，df n
2 n分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3 0.2
n=4
二、t 分布
定义3: 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，且
X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y
n
服从自由度为 n 的 t 分布，记作T～t(n).
t分布的概率密度函数为
f(t)
(n
2
1)
n (n2)
(1
t2 n
)
n1
2,
( t )
其图象如图 5-6 所示，其形状类似于标准正态分布
(n1
1) S12
2
～
2 (n1
1),
(n2
1) S 22
2
～
2 (n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2
U
X
n
~
N(0,1),
(n 1)S2
2
~
2(n 1)
由定义3得
X
n
(n 1)S 2
2
(n 1)
X S
n
T
~
t(n 1)
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