度)
4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U由~度2为(n1n)1，+nV2的~2(2n分2)布,则U+V这一随机变量服从自
5. n→∞时， 2分布的极限分布是正态分布。
第6章统计量及其抽样分布
2分布 (图示)
n=1 n=4 n=10 n=20
不同第容6章量统计样量及本其的抽样抽分布样分布
已知
想知道
所有数据
描述性统计，计算参数
总体特征
何种分布＋ 样本数据
统计推断
总体特征
第6章统计量及其抽样分布
为什么能抽样？
中国成语：“一叶知秋” 出自《淮南子·说 山训》：“以小明大，见一叶落而知岁之将 暮，睹瓶中之冰而知天下之寒。”
谚语：“你不必吃完整头牛，才知道肉是老 的”
从检查一部分得知全体。
第6章统计量及其抽样分布
复习 抽样方法
抽样方式
概率抽样
非概率抽样
简单随机抽样 整群抽样
多阶段抽样
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
第6章统计量及其抽样分布
6.2.1 抽样分布 (sampling distribution)
1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
2
例题
设随机变量 X ~ 2(20)，求 PXk0.05
中的 k 。
解： n20,0.05，查表 ：
P X 3 1 .4 1 0 .0 5 , k 3 1 .4 1
即临界值 0.052(20)31.41
第6章统计量及其抽样分布
6.3.2 t 分布(t distribution)
当X＝(X1,X2,…,Xn)是来自正态分布总体N(m,s 2)
的一个样本时，
方差
n
2
若m已知，则 ( X i m) 是s 2 的充分统计量；
i 1
均值
若s
2已知，则
X
1 n
n i1
Xi
是m
的充分统计量。
第6章统计量及其抽样分布
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐进分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布
思考
随机模拟：大样本时，样本均值服从正态分布吗？ 提示：EXCEL——数据分析——随机数发生器
第6章统计量及其抽样分布
6.3 由正态分布导出的几个重要分布
正态分布
几 种
χ 2 分布
概
率
分 布
F 分布
t 分布
第6章统计量及其抽样分布
6.3.1 2分布 (2 distribution)
由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海 尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别 于1875年和1900年推导出来。&&
2分布的概率密度函数
2 x e fn
(x)
1
n
2(
n)
2
n 2
1
2x
0
x 0; x 0.
()0x1exdx
第6章统计量及其抽样分布
2分布 (性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正 2. 分布的形状取决其自由度n的大小，通常为不
对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由
distribution)
总体
样 本
计算样本统计 量
如：样本均值
、比例、方差
第6章统计量及其抽样分布
6.2.2 渐近分布
当样本量n无限增大时，计算统计量 T(X1,X2,…,Xn)的极限分布，把极限分布作 为抽样分布的一种近似，这种极限分布就 被称为渐近分布。
第6章统计量及其抽样分布
6.2.3 随机模拟获得的近似分布
第6章统计量及其抽样分布
为什么要抽样？
为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的全部元 素逐一进行观测，往往不很现实。
元素多，搜集数据费
抽 样
时、费用大，不及时而 使所得的数据无意义
总体庞大,难以对总 体的全部元素进行 研究
原
因
检查具有破坏性
炮弹、灯管、砖等
第6章统计量及其抽样分布
关于总体，知道得很少
第6章统计量及其抽样分布
6.1 统计量
6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量 6.1.4 充分统计量
第6章统计量及其抽样分布
6.1.1 统计量的概念 (statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的 一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1,X2,…,Xn) ， 不 依 赖 于 任 何 未 知 参 数 ， 则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
掌握
一般 了解
6.1.3 次序统计量 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）后，称 X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量
第6章统计量及其抽样分布
6.1.4 充分统计量
统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量称 为充分统计量。
统计学 第 6 章 统计量及其抽样分布
第6章统计量及其抽样分布
第 6 章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的抽样分布 6.6 两个样本平均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数 3. 统计量是统计推断的基础
第6章统计量及其抽样分布
6.1.2 常用统计量
样本均值
样本方差
样本变异系数
样本k 阶矩 mk
样本k 阶中心矩
样本偏度
1 n
n
xik
1 i1
n
n k
i1
xi
xk
样本峰度
第6章统计量及其抽样分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可 能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本 4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推
断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
第6章统计量及其抽样分布
抽样分布的形成过程 (sampling
设 随 机 变 量 X1 ， X2 ， … ， Xn 相 互 独 立 ，
n
且 Xi ~ N(0,1) ，则
X
服2 从自由度为n的
i
2分布。
i1
当总体 X~N(m,s2)，从中抽取容量为n的样本，
则n
(xi x)2
i1
s2
~ 2(n1)
(n1)s2
s2
~ 2(n1)
第6章统计量及其抽样分布
6.3.1 2分布 (2 distribution)